Номер 3.24, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. При каких значениях $a$ уравнение

$\sin 2x - 2a\sqrt{2}(\sin x + \cos x) + 1 - 6a^2 = 0$

имеет решения? Найдите эти решения.

Преобразуем исходное уравнение $\sin 2x - 2a\sqrt{2}(\sin x + \cos x) + 1 - 6a^2 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$. Чтобы найти область значений $t$, преобразуем выражение:

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$.

Поскольку область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то область значений для $t$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь выразим $\sin 2x$ через $t$. Возведем в квадрат выражение для $t$:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$.

Отсюда получаем $\sin 2x = t^2 - 1$.

Подставим выражения для $t$ и $\sin 2x$ в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) - 2a\sqrt{2}t + 1 - 6a^2 = 0$

$t^2 - 2\sqrt{2}at - 6a^2 = 0$

Исходное тригонометрическое уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение относительно $t$ имеет хотя бы один корень на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

При каких значениях a уравнение имеет решения?

Решим квадратное уравнение $t^2 - 2\sqrt{2}at - 6a^2 = 0$ относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = (-2\sqrt{2}a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6a^2) = 8a^2 + 24a^2 = 32a^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{2\sqrt{2}a \pm \sqrt{32a^2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}a \pm 4\sqrt{2}|a|}{2} = \sqrt{2}a \pm 2\sqrt{2}|a|$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Корни: $t_1 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Корни: $t_1 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$.

Таким образом, при любом $a$ корни уравнения равны $t_1 = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = -\sqrt{2}a$.

Теперь найдем, при каких значениях $a$ хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Для корня $t_1 = 3\sqrt{2}a$ должно выполняться неравенство:

$-\sqrt{2} \le 3\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив на $3\sqrt{2}$, получаем: $-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$.

Для корня $t_2 = -\sqrt{2}a$ должно выполняться неравенство:

$-\sqrt{2} \le -\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив на $-\sqrt{2}$ (и изменив знаки неравенства), получаем: $1 \ge a \ge -1$, то есть $-1 \le a \le 1$.

Уравнение имеет решения, если $a$ принадлежит объединению этих двух промежутков: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cup [-1, 1] = [-1, 1]$.

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [-1, 1]$.

Найдите эти решения.

Для нахождения $x$ вернемся к замене $t = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$. Отсюда $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{t}{\sqrt{2}}$.

Подставляя найденные корни $t_1 = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = -\sqrt{2}a$, получаем два уравнения:

1) $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = 3a$. Это уравнение имеет решения, если $|3a| \le 1$, то есть $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

2) $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = -a$. Это уравнение имеет решения, если $|-a| \le 1$, то есть $a \in [-1, 1]$.

Теперь рассмотрим решения для различных значений $a$ из найденного диапазона $[-1, 1]$.

Случай 1: $a \in [-1, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1]$.

В этом случае $|3a| > 1$, поэтому уравнение $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 3a$ не имеет решений. Решения дает только уравнение $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -a$.

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k(-\arcsin(a)) + \pi k = -\frac{\pi}{4} - (-1)^k\arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

В этом случае решения существуют для обоих уравнений: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 3a$ и $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -a$. Совокупность решений исходного уравнения будет объединением решений этих двух уравнений.

Из $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 3a$ получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(3a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin(3a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -a$ получаем (как и в первом случае):

$x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^k\arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
При $a \in [-1, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1]$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^k\arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^k\arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n\arcsin(3a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.