Номер 3.26, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. 1) $\sin^2 3x + \sin^2 4x = \sin^2 5x + \sin^2 6x$;

2) $\cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} = \sin^2 2x + \sin^2 4x$;

3) $2 + \cos 4x = 5 \cos 2x + 8 \sin^6 x$;

4) $8 \sin^2 x + 6 \cos^2 x = 13 \sin 2x$.

1) $ \sin^2 3x + \sin^2 4x = \sin^2 5x + \sin^2 6x $

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \frac{1 - \cos 6x}{2} + \frac{1 - \cos 8x}{2} = \frac{1 - \cos 10x}{2} + \frac{1 - \cos 12x}{2} $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ 1 - \cos 6x + 1 - \cos 8x = 1 - \cos 10x + 1 - \cos 12x $
$ 2 - \cos 6x - \cos 8x = 2 - \cos 10x - \cos 12x $
$ \cos 10x + \cos 12x = \cos 6x + \cos 8x $
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:
$ (\cos 12x - \cos 8x) + (\cos 10x - \cos 6x) = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin\frac{12x+8x}{2}\sin\frac{12x-8x}{2} -2\sin\frac{10x+6x}{2}\sin\frac{10x-6x}{2} = 0 $
$ -2\sin 10x \sin 2x - 2\sin 8x \sin 2x = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\sin 2x $ за скобки:
$ -2\sin 2x (\sin 10x + \sin 8x) = 0 $
Теперь применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin 2x \left(2\sin\frac{10x+8x}{2}\cos\frac{10x-8x}{2}\right) = 0 $
$ -4\sin 2x \sin 9x \cos x = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin 9x = 0 \implies 9x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z} $
3. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
Заметим, что серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при нечетных $n$).
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi k}{9}, n, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} = \sin^2 2x + \sin^2 4x $

Используем формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \frac{1 + \cos x}{2} + \frac{1 + \cos 3x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 - \cos 8x}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos x + 1 + \cos 3x = 1 - \cos 4x + 1 - \cos 8x $
$ 2 + \cos x + \cos 3x = 2 - \cos 4x - \cos 8x $
$ \cos x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 8x = 0 $
Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ (\cos 3x + \cos x) + (\cos 8x + \cos 4x) = 0 $
$ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + 2\cos\frac{8x+4x}{2}\cos\frac{8x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 2x \cos x + 2\cos 6x \cos 2x = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\cos 2x $:
$ 2\cos 2x (\cos x + \cos 6x) = 0 $
Еще раз применим формулу суммы косинусов:
$ 2\cos 2x \left(2\cos\frac{6x+x}{2}\cos\frac{6x-x}{2}\right) = 0 $
$ 4\cos 2x \cos \frac{7x}{2} \cos \frac{5x}{2} = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos \frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 7x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $
3. $ \cos \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies 5x = \pi + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}, x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, n, k, m \in \mathbb{Z} $

3) $ 2 + \cos 4x = 5\cos 2x + 8\sin^6 x $

Приведем все функции к одному аргументу $ 2x $, используя формулы $ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 $ и $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $.
$ \sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^3 = \frac{(1 - \cos 2x)^3}{8} = \frac{1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x}{8} $
Подставим выражения в исходное уравнение:
$ 2 + (2\cos^2 2x - 1) = 5\cos 2x + 8 \cdot \frac{1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x}{8} $
$ 1 + 2\cos^2 2x = 5\cos 2x + 1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x $
$ 1 + 2\cos^2 2x = 1 + 2\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x $
Перенесем все в левую часть:
$ \cos^3 2x - \cos^2 2x - 2\cos 2x = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos 2x $:
$ t^3 - t^2 - 2t = 0 $
$ t(t^2 - t - 2) = 0 $
$ t(t-2)(t+1) = 0 $
Получаем три случая для $t$: $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 2 $, $ t_3 = -1 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 2x = 2 $. Решений нет, так как $ |\cos \alpha| \le 1 $.
3. $ \cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ 8\sin^2 x + 6\cos^2 x = 13\sin 2x $

Преобразуем левую часть, используя $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ 8\sin^2 x + 6(1-\sin^2 x) = 13\sin 2x $
$ 8\sin^2 x + 6 - 6\sin^2 x = 13\sin 2x $
$ 2\sin^2 x + 6 = 13\sin 2x $
Используем формулу двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ 2\sin^2 x + 6 = 13(2\sin x \cos x) $
$ 2\sin^2 x - 26\sin x \cos x + 6 = 0 $
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3 = 0 $
Заменим 3 на $ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $, чтобы получить однородное уравнение:
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3\sin^2 x + 3\cos^2 x = 0 $
$ 4\sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 $
Заметим, что $ \cos x \ne 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ 4\sin^2 x = 0 $, то есть $ \sin x = 0 $, что невозможно одновременно с $ \cos x = 0 $.
Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:
$ 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 13\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $
$ 4\tan^2 x - 13\tan x + 3 = 0 $
Сделаем замену $ t = \tan x $:
$ 4t^2 - 13t + 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2 $.
$ t = \frac{13 \pm 11}{8} $
$ t_1 = \frac{13+11}{8} = \frac{24}{8} = 3 $
$ t_2 = \frac{13-11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \arctan 3 + \pi n, x = \arctan \frac{1}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $