Номер 3.33, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.33. 1) $ \sin 2x \cdot \sin 6x = \cos x \cdot \cos 3x $;

2) $ \sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x $;

3) $ \sin^3 x \cos 3x + \sin 3x \cos^3 x = 0 $;

4) $ \tan x + \tan 2x = \tan 3x $.

1) Исходное уравнение: $ \sin 2x \cdot \sin 6x = \cos x \cdot \cos 3x $.

Для решения применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $

$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $

Преобразуем левую часть уравнения:

$ \sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2}(\cos(2x-6x) - \cos(2x+6x)) = \frac{1}{2}(\cos(-4x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) $.

Преобразуем правую часть уравнения:

$ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) + \cos(x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) + \cos(4x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) $.

Приравняем полученные выражения и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) $

$ \cos 4x - \cos 8x = \cos 2x + \cos 4x $

$ -\cos 8x = \cos 2x $

$ \cos 8x + \cos 2x = 0 $

Теперь применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ 2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos 3x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 5x = 0 $, откуда $ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, следовательно $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in \Z $.

2. $ \cos 3x = 0 $, откуда $ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, следовательно $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \Z $.

2) Исходное уравнение: $ \sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x $.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Левая часть: $ \sin x \sin 7x = \frac{1}{2}(\cos(x-7x) - \cos(x+7x)) = \frac{1}{2}(\cos(-6x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 8x) $.

Правая часть: $ \sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(3x-5x) - \cos(3x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 8x) $.

Приравниваем и упрощаем:

$ \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 8x) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 8x) $

$ \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x $

$ \cos 6x = \cos 2x $

Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ имеет две серии решений: $ A = B + 2\pi n $ и $ A = -B + 2\pi n $.

1. $ 6x = 2x + 2\pi n \implies 4x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \Z $.

2. $ 6x = -2x + 2\pi k \implies 8x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \Z $.

Заметим, что первая серия решений является подмножеством второй. Если в решении $ x = \frac{\pi k}{4} $ взять $ k=2n $, то получим $ x = \frac{\pi (2n)}{4} = \frac{\pi n}{2} $. Таким образом, все решения первой серии содержатся во второй.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, \text{ где } k \in \Z $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^3 x \cos 3x + \sin 3x \cos^3 x = 0 $.

Используем формулы тройного угла:

$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $

$ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \sin^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + (3\sin x - 4\sin^3 x) \cos^3 x = 0 $

Раскроем скобки:

$ 4\sin^3 x \cos^3 x - 3\sin^3 x \cos x + 3\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos^3 x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ - 3\sin^3 x \cos x + 3\sin x \cos^3 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 3\sin x \cos x $ за скобки:

$ 3\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 $

Применим формулы двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.

Из $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $, получаем:

$ 3 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \cos 2x = 0 $

$ \sin 2x \cos 2x = 0 $

Еще раз применим формулу синуса двойного угла для $ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x $:

$ \frac{1}{2}\sin 4x = 0 $

$ \sin 4x = 0 $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 4x = \pi n $, где $ n \in \Z $.

$ x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \Z $.

4) Исходное уравнение: $ \text{tg} x + \text{tg} 2x = \text{tg} 3x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $ \cos x \neq 0 $, $ \cos 2x \neq 0 $, $ \cos 3x \neq 0 $.

Перенесем $ \text{tg} 2x $ в правую часть:

$ \text{tg} x = \text{tg} 3x - \text{tg} 2x $

Применим формулу разности тангенсов $ \text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $:

$ \text{tg} x = \frac{\sin(3x-2x)}{\cos 3x \cos 2x} $

$ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos 3x \cos 2x} $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \sin x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos 3x \cos 2x} = 0 $

$ \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cos 3x \cos 2x} \right) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \Z $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как косинусы в этих точках равны $ \pm 1 $.

2. $ \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cos 3x \cos 2x} = 0 \implies \cos x = \cos 3x \cos 2x $.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $:

$ \cos x = \frac{1}{2}(\cos(3x-2x) + \cos(3x+2x)) $

$ \cos x = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 5x) $

$ 2\cos x = \cos x + \cos 5x $

$ \cos x = \cos 5x $

Это уравнение распадается на две серии решений:

а) $ 5x = x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \Z $. Проверим ОДЗ. Если $ k $ - нечетное, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $, и $ \text{tg} x $ не определен. Если $ k $ - четное, $ k=2n $, то $ x = \pi n $, что совпадает с решением из пункта 1.

б) $ 5x = -x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in \Z $. Проверим ОДЗ для этой серии. Ни при каких целых $ m $ значения $ \cos x, \cos 2x, \cos 3x $ не обращаются в ноль, поэтому все решения этой серии подходят.

Объединяя все найденные решения ($ x = \pi n $ и $ x = \frac{\pi m}{3} $), заметим, что серия $ x = \pi n $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi m}{3} $ (при $ m = 3n $). Следовательно, общее решение - это $ x = \frac{\pi m}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \Z $.