Страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.33. 1) $ \sin 2x \cdot \sin 6x = \cos x \cdot \cos 3x $;

2) $ \sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x $;

3) $ \sin^3 x \cos 3x + \sin 3x \cos^3 x = 0 $;

4) $ \tan x + \tan 2x = \tan 3x $.

1) Исходное уравнение: $ \sin 2x \cdot \sin 6x = \cos x \cdot \cos 3x $.

Для решения применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $

$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $

Преобразуем левую часть уравнения:

$ \sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2}(\cos(2x-6x) - \cos(2x+6x)) = \frac{1}{2}(\cos(-4x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) $.

Преобразуем правую часть уравнения:

$ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) + \cos(x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) + \cos(4x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) $.

Приравняем полученные выражения и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 8x) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) $

$ \cos 4x - \cos 8x = \cos 2x + \cos 4x $

$ -\cos 8x = \cos 2x $

$ \cos 8x + \cos 2x = 0 $

Теперь применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ 2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos 3x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 5x = 0 $, откуда $ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, следовательно $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in \Z $.

2. $ \cos 3x = 0 $, откуда $ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, следовательно $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } n, k \in \Z $.

2) Исходное уравнение: $ \sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x $.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Левая часть: $ \sin x \sin 7x = \frac{1}{2}(\cos(x-7x) - \cos(x+7x)) = \frac{1}{2}(\cos(-6x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 8x) $.

Правая часть: $ \sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(3x-5x) - \cos(3x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos(8x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 8x) $.

Приравниваем и упрощаем:

$ \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 8x) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 8x) $

$ \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x $

$ \cos 6x = \cos 2x $

Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ имеет две серии решений: $ A = B + 2\pi n $ и $ A = -B + 2\pi n $.

1. $ 6x = 2x + 2\pi n \implies 4x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \Z $.

2. $ 6x = -2x + 2\pi k \implies 8x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \Z $.

Заметим, что первая серия решений является подмножеством второй. Если в решении $ x = \frac{\pi k}{4} $ взять $ k=2n $, то получим $ x = \frac{\pi (2n)}{4} = \frac{\pi n}{2} $. Таким образом, все решения первой серии содержатся во второй.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, \text{ где } k \in \Z $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^3 x \cos 3x + \sin 3x \cos^3 x = 0 $.

Используем формулы тройного угла:

$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $

$ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \sin^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + (3\sin x - 4\sin^3 x) \cos^3 x = 0 $

Раскроем скобки:

$ 4\sin^3 x \cos^3 x - 3\sin^3 x \cos x + 3\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos^3 x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ - 3\sin^3 x \cos x + 3\sin x \cos^3 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 3\sin x \cos x $ за скобки:

$ 3\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 $

Применим формулы двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.

Из $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $, получаем:

$ 3 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \cos 2x = 0 $

$ \sin 2x \cos 2x = 0 $

Еще раз применим формулу синуса двойного угла для $ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x $:

$ \frac{1}{2}\sin 4x = 0 $

$ \sin 4x = 0 $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 4x = \pi n $, где $ n \in \Z $.

$ x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \Z $.

4) Исходное уравнение: $ \text{tg} x + \text{tg} 2x = \text{tg} 3x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $ \cos x \neq 0 $, $ \cos 2x \neq 0 $, $ \cos 3x \neq 0 $.

Перенесем $ \text{tg} 2x $ в правую часть:

$ \text{tg} x = \text{tg} 3x - \text{tg} 2x $

Применим формулу разности тангенсов $ \text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $:

$ \text{tg} x = \frac{\sin(3x-2x)}{\cos 3x \cos 2x} $

$ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos 3x \cos 2x} $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \sin x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos 3x \cos 2x} = 0 $

$ \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cos 3x \cos 2x} \right) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \Z $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как косинусы в этих точках равны $ \pm 1 $.

2. $ \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cos 3x \cos 2x} = 0 \implies \cos x = \cos 3x \cos 2x $.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $:

$ \cos x = \frac{1}{2}(\cos(3x-2x) + \cos(3x+2x)) $

$ \cos x = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 5x) $

$ 2\cos x = \cos x + \cos 5x $

$ \cos x = \cos 5x $

Это уравнение распадается на две серии решений:

а) $ 5x = x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \Z $. Проверим ОДЗ. Если $ k $ - нечетное, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $, и $ \text{tg} x $ не определен. Если $ k $ - четное, $ k=2n $, то $ x = \pi n $, что совпадает с решением из пункта 1.

б) $ 5x = -x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, m \in \Z $. Проверим ОДЗ для этой серии. Ни при каких целых $ m $ значения $ \cos x, \cos 2x, \cos 3x $ не обращаются в ноль, поэтому все решения этой серии подходят.

Объединяя все найденные решения ($ x = \pi n $ и $ x = \frac{\pi m}{3} $), заметим, что серия $ x = \pi n $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi m}{3} $ (при $ m = 3n $). Следовательно, общее решение - это $ x = \frac{\pi m}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \Z $.

3.34. 1) $(1 - \text{tg}x)(1 + \sin 2x) = 1 + \text{tg}x;$

2) $(1 + \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2\sin^2 x;$

3) $\sin x \cos x \cos 2x \cos 8x = \frac{1}{4}\sin 12x;$

4) $\sin 2x \sin 6x - \cos 2x \cos 6x = \sqrt{2} \sin 3x \cdot \cos 8x.$

1) $(1 - \operatorname{tg}x)(1 + \sin 2x) = 1 + \operatorname{tg}x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, используя формулы $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$(1 - \frac{\sin x}{\cos x})(1 + 2 \sin x \cos x) = 1 + \frac{\sin x}{\cos x}$

Приведем к общему знаменателю в скобках:

$\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}(1 + 2 \sin x \cos x) = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}$

Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $\cos x$:

$(\cos x - \sin x)(1 + 2 \sin x \cos x) = \cos x + \sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Тогда $1 + 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)^2 = \cos x + \sin x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$:

$(\cos x + \sin x) [(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - 1] = 0$

Упростим выражение в квадратных скобках, используя формулу разности квадратов:

$(\cos x + \sin x) [\cos^2 x - \sin^2 x - 1] = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$\cos^2 x - \sin^2 x - 1 = \cos 2x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = (\cos^2 x - \sin^2 x) - (\cos^2 x + \sin^2 x) = -2\sin^2 x$.

Получаем уравнение:

$(\cos x + \sin x)(-2\sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\cos x + \sin x = 0 \implies \operatorname{tg}x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $-2\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pi m, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

2) $(1 + \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2\sin^2 x$

Преобразуем обе части уравнения.

Левая часть: используем тождества $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

Тогда левая часть равна $(\cos x + \sin x)^2(\cos x - \sin x) = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = (\cos x + \sin x)\cos 2x$.

Правая часть: используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$.

Уравнение принимает вид:

$(\cos x + \sin x)\cos 2x = \cos 2x$

Перенесем все в левую часть и вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (\cos x + \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x + \sin x - 1 = 0 \implies \cos x + \sin x = 1$. Решим это уравнение методом введения вспомогательного угла.

$\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Умножим и разделим на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 1$

$\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x) = 1$

$\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Отсюда получаем два семейства решений:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$.

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = 2\pi m, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi l$, где $k, m, l \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x \cos x \cos 2x \cos 8x = \frac{1}{4}\sin 12x$

Преобразуем левую часть уравнения, последовательно применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.

Уравнение становится: $\frac{1}{2}\sin 2x \cos 2x \cos 8x = \frac{1}{4}\sin 12x$.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 4x) \cos 8x = \frac{1}{4}\sin 12x$.

$\frac{1}{4} \sin 4x \cos 8x = \frac{1}{4}\sin 12x$.

$\sin 4x \cos 8x = \sin 12x$.

Представим $\sin 12x$ как синус суммы: $\sin 12x = \sin(4x + 8x) = \sin 4x \cos 8x + \cos 4x \sin 8x$.

Подставим это в уравнение:

$\sin 4x \cos 8x = \sin 4x \cos 8x + \cos 4x \sin 8x$.

$0 = \cos 4x \sin 8x$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin 8x = 0 \implies 8x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{8}, m \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первое семейство решений является подмножеством второго. Решения $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi(1+2k)}{8}$ соответствуют нечетным значениям $m$ в формуле $x = \frac{\pi m}{8}$.

Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{8}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 2x \sin 6x - \cos 2x \cos 6x = \sqrt{2} \sin 3x \cos 8x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

$\sin 2x \sin 6x - \cos 2x \cos 6x = -(\cos 2x \cos 6x - \sin 2x \sin 6x) = -\cos(2x + 6x) = -\cos 8x$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos 8x = \sqrt{2} \sin 3x \cos 8x$.

Перенесем все в одну часть:

$\sqrt{2} \sin 3x \cos 8x + \cos 8x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos 8x$ за скобки:

$\cos 8x (\sqrt{2} \sin 3x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\cos 8x = 0 \implies 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sqrt{2} \sin 3x + 1 = 0 \implies \sin 3x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$3x = (-1)^m \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \pi m = (-1)^m (-\frac{\pi}{4}) + \pi m = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{4} + \pi m$.

$x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

3.35. 1) $ctg^2 x - tg^2 x = 32 \cos^3 2x$;

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 8 \sin x \sin 3x$;

3) $tg 2x + ctg x = 8 \cos^2 x$;

4) $\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = -2 \cos 2x$.

1) ctg²x - tg²x = 32cos³2x
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для существования $ctg(x)$ необходимо, чтобы $sin(x) \ne 0$.
Для существования $tg(x)$ необходимо, чтобы $cos(x) \ne 0$.
Следовательно, $sin(x)cos(x) \ne 0$, что эквивалентно $\frac{1}{2}sin(2x) \ne 0$, то есть $sin(2x) \ne 0$.
Отсюда $2x \ne \pi n$, $x \ne \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Преобразуем левую часть уравнения:
$ctg^2x - tg^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x} - \frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{cos^4x - sin^4x}{sin^2x cos^2x}$
В числителе используем формулу разности квадратов:
$cos^4x - sin^4x = (cos^2x - sin^2x)(cos^2x + sin^2x) = cos(2x) \cdot 1 = cos(2x)$.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла:
$sin^2x cos^2x = (sinx cosx)^2 = (\frac{1}{2}sin(2x))^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.
Таким образом, левая часть равна: $\frac{cos(2x)}{\frac{1}{4}sin^2(2x)} = \frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)}$.
Получаем уравнение: $\frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)} = 32cos^3(2x)$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $cos(2x) = 0$.
Тогда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ ($x \ne \frac{\pi n}{2}$).
При $cos(2x)=0$ обе части уравнения обращаются в 0, следовательно, это решение.
Случай 2: $cos(2x) \ne 0$.
Разделим обе части на $4cos(2x)$:
$\frac{1}{sin^2(2x)} = 8cos^2(2x)$.
$1 = 8sin^2(2x)cos^2(2x) = 2 \cdot (2sin(2x)cos(2x))^2 = 2sin^2(4x)$.
$sin^2(4x) = \frac{1}{2}$.
$sin(4x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$4x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, $m \in Z$.
Эти значения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $k, m \in Z$.

2) (cos x / cos 3x) - (cos 3x / cos x) = 8sin x sin 3x
ОДЗ: $cos(x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $cos(3x) \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)} = 8sin(x)sin(3x)$.
Преобразуем числитель левой части: $cos^2x - cos^2(3x) = (1-sin^2x) - (1-sin^2(3x)) = sin^2(3x) - sin^2x$.
Используем формулу разности квадратов синусов $sin^2A - sin^2B = sin(A-B)sin(A+B)$:
$sin^2(3x) - sin^2x = sin(3x-x)sin(3x+x) = sin(2x)sin(4x)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{sin(2x)sin(4x)}{cos(x)cos(3x)} = 8sin(x)sin(3x)$.
Перенесем знаменатель в правую часть (с учетом ОДЗ):
$sin(2x)sin(4x) = 8sin(x)cos(x)sin(3x)cos(3x)$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$:
$8sin(x)cos(x)sin(3x)cos(3x) = 2 \cdot (2sin(x)cos(x)) \cdot (2sin(3x)cos(3x)) = 2sin(2x)sin(6x)$.
Получаем уравнение: $sin(2x)sin(4x) = 2sin(2x)sin(6x)$.
$sin(2x)sin(4x) - 2sin(2x)sin(6x) = 0$.
$sin(2x)(sin(4x) - 2sin(6x)) = 0$.
Случай 1: $sin(2x)=0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$), получаем $x = \pi n$, $n \in Z$.
Случай 2: $sin(4x) - 2sin(6x) = 0 \implies sin(4x) = 2sin(6x)$.
Пусть $y=2x$. Тогда $sin(2y) = 2sin(3y)$.
$2sin(y)cos(y) = 2(3sin(y) - 4sin^3(y))$.
Поскольку $sin(y)=sin(2x)=0$ рассмотрено в первом случае, здесь $sin(y) \ne 0$, можно разделить на $2sin(y)$:
$cos(y) = 3 - 4sin^2(y) = 3 - 4(1-cos^2(y)) = -1 + 4cos^2(y)$.
$4cos^2(y) - cos(y) - 1 = 0$.
Пусть $t = cos(y) = cos(2x)$. $4t^2 - t - 1 = 0$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Так как $|(1 \pm \sqrt{17})/8| < 1$, оба корня подходят.
$cos(2x) = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
$2x = \pm arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + 2\pi k \implies x = \pm \frac{1}{2}arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + \pi k$, $k \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{1}{2}arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.

3) tg 2x + ctg x = 8cos²x
ОДЗ: $cos(2x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, и $sin(x) \ne 0 \implies x \ne \pi n$, где $k, n \in Z$.
Преобразуем левую часть:
$tg(2x) + ctg(x) = \frac{sin(2x)}{cos(2x)} + \frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{sin(2x)sin(x) + cos(2x)cos(x)}{cos(2x)sin(x)}$.
Числитель является формулой косинуса разности: $cos(2x-x) = cos(x)$.
Левая часть равна $\frac{cos(x)}{cos(2x)sin(x)}$.
Уравнение принимает вид: $\frac{cos(x)}{cos(2x)sin(x)} = 8cos^2(x)$.
Случай 1: $cos(x) = 0$.
Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подставляя в исходное уравнение, получаем $0=0$. Следовательно, это решение.
Случай 2: $cos(x) \ne 0$.
Разделим обе части на $cos(x)$:
$\frac{1}{cos(2x)sin(x)} = 8cos(x)$.
$1 = 8sin(x)cos(x)cos(2x) = 4 \cdot (2sin(x)cos(x)) \cdot cos(2x) = 4sin(2x)cos(2x) = 2sin(4x)$.
$sin(4x) = \frac{1}{2}$.
$4x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$.
$x = (-1)^m \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{4}$, $m \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = (-1)^m \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{4}$, где $k, m \in Z$.

4) (cos x / cos 3x) - (cos 3x / cos x) = -2cos 2x
ОДЗ: $cos(x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $cos(3x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.
Левая часть, как и в задаче 2, преобразуется к виду $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)}$.
Уравнение: $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)} = -2cos(2x)$.
$cos^2x - cos^2(3x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
Используем формулу $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:
$\frac{1+cos(2x)}{2} - \frac{1+cos(6x)}{2} = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$\frac{1}{2}(cos(2x) - cos(6x)) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
Используем формулу разности косинусов: $cos(2x) - cos(6x) = -2sin(\frac{2x+6x}{2})sin(\frac{2x-6x}{2}) = -2sin(4x)sin(-2x) = 2sin(4x)sin(2x)$.
$\frac{1}{2}(2sin(4x)sin(2x)) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$sin(4x)sin(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$2sin(2x)cos(2x)sin(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$2sin^2(2x)cos(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$cos(2x) \cdot (sin^2(2x) + cos(x)cos(3x)) = 0$.
Случай 1: $cos(2x) = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.
Проверим ОДЗ: $cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) \ne 0$ и $cos(3(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})) = cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}) \ne 0$. Оба условия выполняются. Подстановка в исходное уравнение: $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{...} = -2 \cdot 0 = 0$. Если $cos(2x)=0$, то $2cos^2x-1=0 \implies cos^2x=1/2$. $cos(6x)=cos(3 \cdot 2x)=cos(\frac{3\pi}{2}+3\pi n)=0$. Тогда $2cos^2(3x)-1=0 \implies cos^2(3x)=1/2$. Числитель $cos^2x - cos^2(3x) = 1/2 - 1/2 = 0$. Следовательно, это решение.
Случай 2: $sin^2(2x) + cos(x)cos(3x) = 0$.
$sin^2(2x) + \frac{1}{2}(cos(2x) + cos(4x)) = 0$.
$1-cos^2(2x) + \frac{1}{2}(cos(2x) + 2cos^2(2x)-1) = 0$.
$1-cos^2(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 0$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(2x) = 0 \implies cos(2x) = -1$.
$2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Эти значения не входят в ОДЗ, так как $cos(x)=cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)=0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

3.36. 1) $\sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2}$;

2) $\cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x$;

3) $\frac{1 + \operatorname{tg}x}{1 - \operatorname{tg}x} = (\sin x + \cos x)^2$;

4) $\sin 3x + \sin x = 4 \sin^3 x$.

1) $ \sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2} $

Перенесем $ \sin^4 \frac{x}{2} $ в правую часть уравнения:

$ \sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} $

Применим к правой части формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ \sin 2x = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $.

$ \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 $

$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x $

Тогда уравнение принимает вид:

$ \sin 2x = \cos x $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = \cos x $

$ 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 3x $

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $:

$ 2(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2 \cos 3x $

Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} $. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $:

$ 2(\cos \frac{\pi}{3} \cos x - \sin \frac{\pi}{3} \sin x) = 2 \cos 3x $

$ 2 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 2 \cos 3x $

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos 3x $

Это равенство выполняется, если аргументы косинусов равны или противоположны с точностью до периода $ 2\pi n $:

1. $ x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ -2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 2x = \frac{\pi}{3} - 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} - \pi n $. Так как $ n $ – любое целое число, то $ -n $ также любое целое, поэтому можно записать $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2. $ x + \frac{\pi}{3} = -3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} = (\sin x + \cos x)^2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 1 - \tg x \neq 0 \implies \tg x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} = 1 + \sin 2x $

Сделаем замену $ t = \tg x $. Используем формулу $ \sin 2x = \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} = \frac{2t}{1+t^2} $:

$ \frac{1 + t}{1 - t} = 1 + \frac{2t}{1+t^2} $

$ \frac{1 + t}{1 - t} = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2} $

Перенесем все в одну сторону:

$ \frac{(1+t)^2}{1+t^2} - \frac{1+t}{1-t} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (1+t) $:

$ (1+t) \left( \frac{1+t}{1+t^2} - \frac{1}{1-t} \right) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

1. $ 1+t = 0 \implies t = -1 $

$ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. $ \frac{1+t}{1+t^2} - \frac{1}{1-t} = 0 $

$ \frac{(1+t)(1-t) - (1+t^2)}{(1+t^2)(1-t)} = 0 $

$ (1-t^2) - (1+t^2) = 0 $

$ 1 - t^2 - 1 - t^2 = 0 $

$ -2t^2 = 0 \implies t = 0 $

$ \tg x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin 3x + \sin x = 4 \sin^3 x $

Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x $.

Подставим ее в уравнение:

$ (3 \sin x - 4 \sin^3 x) + \sin x = 4 \sin^3 x $

Приведем подобные члены:

$ 4 \sin x - 4 \sin^3 x = 4 \sin^3 x $

$ 4 \sin x = 8 \sin^3 x $

Разделим обе части на 4 и перенесем все в одну сторону:

$ 2 \sin^3 x - \sin x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (2 \sin^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2 \sin^2 x - 1 = 0 \implies \sin^2 x = \frac{1}{2} $.

Отсюда $ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решения этого уравнения можно записать в виде $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Это эквивалентно уравнению $ \cos(2x)=0 $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

3.37. Найдите все корни уравнения $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$, лежащие на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Исходное уравнение $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$ равносильно системе, состоящей из самого уравнения, возведенного в квадрат, и условий неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} \sin(1-x) = \cos x \\ \cos x \ge 0 \\ \sin(1-x) \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что $\sin(1-x)$ и $\cos x$ равны, поэтому достаточно оставить только одно из условий неотрицательности, например $\cos x \ge 0$. Таким образом, система упрощается:

$\begin{cases} \sin(1-x) = \cos x \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

По условию задачи, искомые корни должны принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Для всех $x$ из этого отрезка условие $\cos x \ge 0$ выполняется. Следовательно, нам нужно найти решения уравнения $\sin(1-x) = \cos x$ и выбрать из них те, что лежат на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$:

$\sin(1-x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$

Решения этого уравнения можно найти из двух соотношений ($n \in \mathbb{Z}$):

1) $1-x = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n$

$1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies 2\pi n = 1 - \frac{\pi}{2}$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $n$, так как правая часть не кратна $2\pi$.

2) $1-x = \pi - (\frac{\pi}{2} - x) + 2\pi n$

$1-x = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n$

$2x = 1 - \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi n$. Заменив $-n$ на $m \in \mathbb{Z}$, получим более удобную запись: $x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi m$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, решив двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi m \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \le \pi m \le \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \le \pi m \le \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi} \le m \le \frac{3}{4} - \frac{1}{2\pi}$

Используя приближенное значение $\frac{1}{2\pi} \approx 0.16$, получим:

$-0.25 - 0.16 \le m \le 0.75 - 0.16$

$-0.41 \le m \le 0.59$

Единственное целое число $m$ в этом интервале — это $m=0$.

При $m=0$ получаем единственный корень:

$x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}$

Этот корень принадлежит заданному отрезку и удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}$.

3.38. Найдите все решения уравнения $\cos^4 x - \cos 3x = 3 \cos x - \cos^3 x \cdot \cos 3x$, лежащие на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Исходное уравнение:

$\cos^4 x - \cos 3x = 3 \cos x - \cos^3 x \cdot \cos 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\cos^4 x - 3 \cos x + \cos^3 x \cdot \cos 3x - \cos 3x = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^4 x + \cos^3 x \cdot \cos 3x) - (3 \cos x + \cos 3x) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos^3 x$ из первой скобки:

$\cos^3 x (\cos x + \cos 3x) - (3 \cos x + \cos 3x) = 0$

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

Упростим выражения в скобках:

$\cos x + \cos 3x = \cos x + (4\cos^3 x - 3\cos x) = 4\cos^3 x - 2\cos x$.

$3 \cos x + \cos 3x = 3 \cos x + (4\cos^3 x - 3\cos x) = 4\cos^3 x$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\cos^3 x (4\cos^3 x - 2\cos x) - 4\cos^3 x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $\cos^3 x$:

$\cos^3 x (4\cos^3 x - 2\cos x - 4) = 0$

Вынесем множитель 2 из второй скобки:

$2\cos^3 x (2\cos^3 x - \cos x - 2) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $\cos^3 x = 0$

2) $2\cos^3 x - \cos x - 2 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) Из уравнения $\cos^3 x = 0$ следует $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos^3 x - \cos x - 2 = 0$. Сделаем замену $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то и значения $t$ должны принадлежать этому отрезку, то есть $t \in [-1, 1]$.

Получаем кубическое уравнение: $2t^3 - t - 2 = 0$.

Исследуем функцию $f(t) = 2t^3 - t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-1) = 2(-1)^3 - (-1) - 2 = -2 + 1 - 2 = -3$.

$f(1) = 2(1)^3 - 1 - 2 = 2 - 1 - 2 = -1$.

Найдем производную функции, чтобы найти точки экстремума:

$f'(t) = (2t^3 - t - 2)' = 6t^2 - 1$.

Приравняем производную к нулю: $6t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{6} \Rightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.

Обе критические точки $t_1 = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ и $t_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(\frac{1}{\sqrt{6}}) = 2(\frac{1}{\sqrt{6}})^3 - \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = \frac{2}{6\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = \frac{1}{3\sqrt{6}} - \frac{3}{3\sqrt{6}} - 2 = -\frac{2}{3\sqrt{6}} - 2 < 0$.

$f(-\frac{1}{\sqrt{6}}) = 2(-\frac{1}{\sqrt{6}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{6}}) - 2 = -\frac{2}{6\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = -\frac{1}{3\sqrt{6}} + \frac{3}{3\sqrt{6}} - 2 = \frac{2}{3\sqrt{6}} - 2$.

Поскольку $\sqrt{6} > 1$, то $3\sqrt{6} > 3$, и $\frac{2}{3\sqrt{6}} < \frac{2}{3} < 1$. Следовательно, $\frac{2}{3\sqrt{6}} - 2 < 0$.

Так как значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$ и в точках экстремума внутри этого отрезка отрицательны, то функция $f(t)$ принимает только отрицательные значения на отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, уравнение $2t^3 - t - 2 = 0$ не имеет решений при $t \in [-1, 1]$.

Следовательно, единственными решениями исходного уравнения являются корни уравнения $\cos x = 0$.

Теперь найдем решения, лежащие на отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Для этого решим двойное неравенство для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

$\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le \frac{1}{2} + n \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:

$1 - \frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \le n \le 1$

Единственным целым числом $n$, удовлетворяющим этому неравенству, является $n = 1$.

При $n=1$ получаем решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$

Этот корень принадлежит заданному отрезку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

3.39. Найдите все решения уравнения $ \cos 5x + \cos 7x + 2\cos^2 2x - 2\sin^2 3x = 0 $, удовлетворяющие условию $ |x| < 2 $.

1. Преобразование уравнения

Исходное уравнение: $cos(5x) + cos(7x) + 2\cos^2(2x) - 2\sin^2(3x) = 0$.

Воспользуемся формулами понижения степени (которые следуют из формул двойного угла):

$2\cos^2(\alpha) = 1 + \cos(2\alpha)$

$2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$

Применим их к членам $2\cos^2(2x)$ и $2\sin^2(3x)$:

$2\cos^2(2x) = 1 + \cos(4x)$

$2\sin^2(3x) = 1 - \cos(6x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$cos(5x) + cos(7x) + (1 + \cos(4x)) - (1 - \cos(6x)) = 0$

$cos(5x) + cos(7x) + 1 + \cos(4x) - 1 + \cos(6x) = 0$

$cos(4x) + cos(5x) + cos(6x) + cos(7x) = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos(4x) + \cos(6x)) + (\cos(5x) + \cos(7x)) = 0$

$2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} + 2\cos\frac{5x+7x}{2}\cos\frac{7x-5x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(x) + 2\cos(6x)\cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:

$2\cos(x)(\cos(5x) + \cos(6x)) = 0$

Еще раз применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$2\cos(x) \cdot (2\cos\frac{5x+6x}{2}\cos\frac{6x-5x}{2}) = 0$

$4\cos(x)\cos(\frac{11x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$

2. Решение простейших уравнений

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\cos(\frac{11x}{2}) = 0 \implies \frac{11x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{11} + \frac{2\pi m}{11} = \frac{\pi(1+2m)}{11}, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi + 2\pi n$) является подмножеством третьей серии. Если $x = \pi + 2\pi n$, то $\frac{11x}{2} = \frac{11\pi(1+2n)}{2} = \frac{11\pi}{2} + 11\pi n$. Косинус этого аргумента равен $\cos(\frac{11\pi}{2} + 11\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 4\pi + 11\pi n) = 0$, так как $11n+4$ - целое число. Таким образом, достаточно найти решения для первой и третьей серий.

3. Отбор корней

Найдем решения, удовлетворяющие условию $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k=0, x = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$. Корень подходит, так как $-2 < 1.57 < 2$.
• При $k=-1, x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Корень подходит, так как $-2 < -1.57 < 2$.
• При $k=1, x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 > 2$. Не подходит.
• При $k=-2, x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 < -2$. Не подходит.

Из этой серии получаем два корня: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

Для третьей серии $x = \frac{\pi(1+2m)}{11}$:

Решим неравенство $-2 < \frac{\pi(1+2m)}{11} < 2$.

$-\frac{22}{\pi} < 1+2m < \frac{22}{\pi}$

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{22}{\pi} \approx 7.006$.

$-7.006 < 1+2m < 7.006$

$-8.006 < 2m < 6.006$

$-4.003 < m < 3.003$

Поскольку $m$ - целое число, возможные значения для $m$: $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• $m = -4 \implies x = \frac{\pi(1-8)}{11} = -\frac{7\pi}{11}$
• $m = -3 \implies x = \frac{\pi(1-6)}{11} = -\frac{5\pi}{11}$
• $m = -2 \implies x = \frac{\pi(1-4)}{11} = -\frac{3\pi}{11}$
• $m = -1 \implies x = \frac{\pi(1-2)}{11} = -\frac{\pi}{11}$
• $m = 0 \implies x = \frac{\pi(1+0)}{11} = \frac{\pi}{11}$
• $m = 1 \implies x = \frac{\pi(1+2)}{11} = \frac{3\pi}{11}$
• $m = 2 \implies x = \frac{\pi(1+4)}{11} = \frac{5\pi}{11}$
• $m = 3 \implies x = \frac{\pi(1+6)}{11} = \frac{7\pi}{11}$

Все эти восемь корней удовлетворяют условию $|x| < 2$, так как $| \frac{7\pi}{11} | \approx \frac{7 \times 3.14}{11} \approx \frac{21.98}{11} \approx 1.998 < 2$.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый набор корней.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{\pi}{11}, \pm\frac{3\pi}{11}, \pm\frac{5\pi}{11}, \pm\frac{7\pi}{11}$.

3.40. Решите уравнение:

1) $ \text{tg } x^2 = \text{ctg } 5x $;

2) $ \sin x = \cos \sqrt{x} $;

3) $ \sin\left(\frac{2\pi}{5}\cos x\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\sin x\right) $;

4) $ \sin(\pi \text{ctg } x) = \cos(\pi \text{tg } x) $.

1)Исходное уравнение: $tg(x^2) = ctg(5x)$.
Воспользуемся формулой приведения $ctg(\alpha) = tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Уравнение примет вид:
$tg(x^2) = tg(\frac{\pi}{2} - 5x)$.
Равенство тангенсов $tg(a) = tg(b)$ выполняется, если $a = b + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x^2 = \frac{\pi}{2} - 5x + \pi n$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 + 5x - (\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Решим это квадратное уравнение по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = 25 + 4(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 25 + 2\pi + 4\pi n$.
Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D \ge 0$.
$25 + 2\pi + 4\pi n \ge 0$
$4\pi n \ge -25 - 2\pi$
$n \ge -\frac{25 + 2\pi}{4\pi} = -\frac{25}{4\pi} - \frac{1}{2}$.
Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{25}{4\pi} \approx \frac{25}{12.56} \approx 1.99$. Тогда $n \ge -1.99 - 0.5 = -2.49$.
Поскольку $n$ — целое число, то $n \ge -2$.
Корни уравнения:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 2\pi + 4\pi n}}{2}$.
При этом должны выполняться условия существования тангенса и котангенса: $x^2 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $5x \neq \pi m$ для $k, m \in \mathbb{Z}$. Эти условия выполняются, так как если бы они не выполнялись, то одна из частей уравнения $tg(x^2) = ctg(5x)$ не была бы определена. Равенство $x^2 + 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ эквивалентно $cos(x^2+5x)=0$, что как раз и обеспечивает выполнение равенства $tg(x^2) = ctg(5x)$.
Ответ: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 2\pi + 4\pi n}}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \ge -2$.

2)Исходное уравнение: $\sin x = \cos \sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием квадратного корня: $x \ge 0$.
Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - \sqrt{x})$.
Равенство $\sin a = \sin b$ эквивалентно совокупности двух серий решений:
1) $a = b + 2\pi n$
2) $a = \pi - b + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1:
$x = \frac{\pi}{2} - \sqrt{x} + 2\pi n$.
$x + \sqrt{x} - (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $y \ge 0$. Получаем квадратное уравнение для $y$:
$y^2 + y - (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = 1 + 2\pi + 8\pi n$.
Для действительных корней $D \ge 0 \implies 1 + 2\pi + 8\pi n \ge 0 \implies n \ge -\frac{1+2\pi}{8\pi} \approx -0.29$. Так как $n$ целое, $n \ge 0$.
Корни для $y$: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2}$.
Так как $y \ge 0$, выбираем корень со знаком плюс. Проверим его неотрицательность: $\frac{-1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2} \ge 0 \implies \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n} \ge 1 \implies 1 + 2\pi + 8\pi n \ge 1 \implies 8\pi n \ge -2\pi \implies n \ge -1/4$. Это условие выполняется при $n \ge 0$.
Итак, $y = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2}$, где $n=0, 1, 2, ...$
Возвращаясь к $x$: $x = y^2 = \left( \frac{-1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2} \right)^2$.
Случай 2:
$x = \pi - (\frac{\pi}{2} - \sqrt{x}) + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \sqrt{x} + 2\pi n$.
$x - \sqrt{x} - (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$.
С заменой $y = \sqrt{x}$ ($y \ge 0$):
$y^2 - y - (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$.
Дискриминант такой же: $D = 1 + 2\pi + 8\pi n$, и условие $n \ge 0$ сохраняется.
Корни для $y$: $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2}$.
Так как $y \ge 0$, и для $n \ge 0$ $\sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n} \ge \sqrt{1+2\pi} > 1$, корень со знаком минус будет отрицательным. Поэтому выбираем корень со знаком плюс:
$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2}$, где $n=0, 1, 2, ...$
Возвращаясь к $x$: $x = y^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2} \right)^2$.
Ответ: $x = \left( \frac{-1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2} \right)^2$ и $x = \left( \frac{1 + \sqrt{1 + 2\pi + 8\pi n}}{2} \right)^2$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

3)Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\cos x\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\sin x\right)$.
Используем формулу $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin\left(\frac{2\pi}{5}\cos x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}\sin x\right)$.
Равенство синусов приводит к двум случаям ($n \in \mathbb{Z}$):
Случай 1:
$\frac{2\pi}{5}\cos x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}\sin x + 2\pi n$.
Разделим на $\pi$: $\frac{2}{5}\cos x = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}\sin x + 2n$.
Умножим на 5: $2\cos x = \frac{5}{2} - 2\sin x + 10n \implies 2\cos x + 2\sin x = \frac{5}{2} + 10n$.
$\cos x + \sin x = \frac{5}{4} + 5n$.
Преобразуем левую часть: $\cos x + \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4} + 5n$.
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{5/4 + 5n}{\sqrt{2}}$.
Поскольку $|\sin \alpha| \le 1$, то $|\frac{5/4 + 5n}{\sqrt{2}}| \le 1 \implies |1.25 + 5n| \le \sqrt{2} \approx 1.414$.
$-1.414 \le 1.25 + 5n \le 1.414 \implies -2.664 \le 5n \le 0.164 \implies -0.5328 \le n \le 0.0328$.
Единственное целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=0$.
При $n=0$ получаем: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4\sqrt{2}}$.
Решения: $x+\frac{\pi}{4} = \arcsin\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$ и $x+\frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$.
Случай 2:
$\frac{2\pi}{5}\cos x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}\sin x\right) + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{5}\sin x + 2\pi n$.
$\frac{2}{5}\cos x = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}\sin x + 2n \implies 2\cos x - 2\sin x = \frac{5}{2} + 10n$.
$\cos x - \sin x = \frac{5}{4} + 5n$.
Левая часть: $\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$.
$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4} + 5n$.
Аналогично первому случаю, единственное возможное целое значение $n=0$.
$\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4\sqrt{2}}$.
Решения: $x+\frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \arcsin(\frac{5}{4\sqrt{2}}) + 2\pi k$, $x = \frac{3\pi}{4} - \arcsin(\frac{5}{4\sqrt{2}}) + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{5}{4\sqrt{2}}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $\sin(\pi \ctg x) = \cos(\pi \tg x)$.
ОДЗ: $\tg x$ и $\ctg x$ должны быть определены, следовательно $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого $m \in \mathbb{Z}$.
Применим формулу $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin(\pi \ctg x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \pi \tg x)$.
Равенство синусов приводит к двум случаям ($n \in \mathbb{Z}$):
Случай 1:
$\pi \ctg x = \frac{\pi}{2} - \pi \tg x + 2\pi n$.
Разделим на $\pi$: $\ctg x = \frac{1}{2} - \tg x + 2n \implies \ctg x + \tg x = \frac{1}{2} + 2n$.
Используем тождество $\ctg x + \tg x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
$\frac{2}{\sin(2x)} = \frac{1}{2} + 2n \implies \sin(2x) = \frac{2}{1/2 + 2n} = \frac{4}{1 + 4n}$.
Так как $|\sin(2x)| \le 1$, имеем $|\frac{4}{1+4n}| \le 1 \implies 4 \le |1+4n|$.
Это неравенство распадается на два:
а) $1+4n \ge 4 \implies 4n \ge 3 \implies n \ge 3/4$. Так как $n$ целое, $n \ge 1$.
б) $1+4n \le -4 \implies 4n \le -5 \implies n \le -5/4$. Так как $n$ целое, $n \le -2$.
Итак, $n \in \mathbb{Z}$, $n \ge 1$ или $n \le -2$.
Для таких $n$ решения: $2x = \arcsin(\frac{4}{1+4n}) + 2\pi k$ и $2x = \pi - \arcsin(\frac{4}{1+4n}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{1+4n}\right) + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{1+4n}\right) + \pi k$.
Случай 2:
$\pi \ctg x = \pi - (\frac{\pi}{2} - \pi \tg x) + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi \tg x + 2\pi n$.
Разделим на $\pi$: $\ctg x = \frac{1}{2} + \tg x + 2n \implies \ctg x - \tg x = \frac{1}{2} + 2n$.
Используем тождество $\ctg x - \tg x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\ctg(2x)$.
$2\ctg(2x) = \frac{1}{2} + 2n \implies \ctg(2x) = \frac{1}{4} + n$.
Это уравнение имеет решения для любого целого $n$.
$2x = \text{arcctg}\left(\frac{1}{4} + n\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{2}\text{arcctg}\left(\frac{1}{4} + n\right) + \frac{\pi k}{2}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как $\text{arcctg}(y)$ не может быть равен $\pi m$ для целого $m$.
Ответ: Cовокупность решений:
1) $x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{1+4n}\right) + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{1+4n}\right) + \pi k$, где $n \in \mathbb{Z}$ ($n \ge 1$ или $n \le -2$), $k \in \mathbb{Z}$.
2) $x = \frac{1}{2}\text{arcctg}\left(\frac{1}{4} + n\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3.41. Покажите, что уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ не имеет решения.

Для доказательства того, что уравнение не имеет решений, преобразуем его с помощью тригонометрических тождеств.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Применим эту формулу к правой части исходного уравнения:

$\cos(\sin x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin x)$

Теперь исходное уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ можно записать в следующем виде:

$\sin(\cos x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin x)$

Уравнение вида $\sin A = \sin B$ равносильно совокупности двух серий решений:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$

где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Применим это к нашему уравнению, где $A = \cos x$ и $B = \frac{\pi}{2} - \sin x$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $\cos x = \frac{\pi}{2} - \sin x + 2\pi k$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы переменные были в одной части:

$\sin x + \cos x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin x + b\cos x$ можно представить как $R\sin(x+\phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1$ и $b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$

Теперь уравнение имеет вид:

$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Оценим возможные значения левой и правой частей. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому область значений левой части, $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$, — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь оценим правую часть $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Наименьшее по абсолютной величине значение правой части достигается при $k=0$ и равно $\frac{\pi}{2}$.

Сравним максимальное значение левой части с минимальным положительным значением правой. Используем приближенные значения: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.571$.

Поскольку $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$, наибольшее возможное значение левой части меньше, чем наименьшее положительное значение правой части. Следовательно, равенство невозможно, и в этом случае решений нет.

Случай 2: $\cos x = \pi - (\frac{\pi}{2} - \sin x) + 2\pi k$

Раскроем скобки и упростим:

$\cos x = \pi - \frac{\pi}{2} + \sin x + 2\pi k$

$\cos x - \sin x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Снова преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. $R = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Область значений левой части, $\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$, также является отрезком $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Правая часть идентична той, что была в первом случае.

Как и в первом случае, сравнение областей значений показывает, что равенство невозможно, так как $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$. Значит, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ не имеет решений, что и требовалось доказать.