Номер 3.39, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Найдите все решения уравнения $ \cos 5x + \cos 7x + 2\cos^2 2x - 2\sin^2 3x = 0 $, удовлетворяющие условию $ |x| < 2 $.

1. Преобразование уравнения

Исходное уравнение: $cos(5x) + cos(7x) + 2\cos^2(2x) - 2\sin^2(3x) = 0$.

Воспользуемся формулами понижения степени (которые следуют из формул двойного угла):

$2\cos^2(\alpha) = 1 + \cos(2\alpha)$

$2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$

Применим их к членам $2\cos^2(2x)$ и $2\sin^2(3x)$:

$2\cos^2(2x) = 1 + \cos(4x)$

$2\sin^2(3x) = 1 - \cos(6x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$cos(5x) + cos(7x) + (1 + \cos(4x)) - (1 - \cos(6x)) = 0$

$cos(5x) + cos(7x) + 1 + \cos(4x) - 1 + \cos(6x) = 0$

$cos(4x) + cos(5x) + cos(6x) + cos(7x) = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos(4x) + \cos(6x)) + (\cos(5x) + \cos(7x)) = 0$

$2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} + 2\cos\frac{5x+7x}{2}\cos\frac{7x-5x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(x) + 2\cos(6x)\cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:

$2\cos(x)(\cos(5x) + \cos(6x)) = 0$

Еще раз применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$2\cos(x) \cdot (2\cos\frac{5x+6x}{2}\cos\frac{6x-5x}{2}) = 0$

$4\cos(x)\cos(\frac{11x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$

2. Решение простейших уравнений

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\cos(\frac{11x}{2}) = 0 \implies \frac{11x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{11} + \frac{2\pi m}{11} = \frac{\pi(1+2m)}{11}, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi + 2\pi n$) является подмножеством третьей серии. Если $x = \pi + 2\pi n$, то $\frac{11x}{2} = \frac{11\pi(1+2n)}{2} = \frac{11\pi}{2} + 11\pi n$. Косинус этого аргумента равен $\cos(\frac{11\pi}{2} + 11\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 4\pi + 11\pi n) = 0$, так как $11n+4$ - целое число. Таким образом, достаточно найти решения для первой и третьей серий.

3. Отбор корней

Найдем решения, удовлетворяющие условию $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k=0, x = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$. Корень подходит, так как $-2 < 1.57 < 2$.
• При $k=-1, x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Корень подходит, так как $-2 < -1.57 < 2$.
• При $k=1, x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 > 2$. Не подходит.
• При $k=-2, x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 < -2$. Не подходит.

Из этой серии получаем два корня: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

Для третьей серии $x = \frac{\pi(1+2m)}{11}$:

Решим неравенство $-2 < \frac{\pi(1+2m)}{11} < 2$.

$-\frac{22}{\pi} < 1+2m < \frac{22}{\pi}$

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{22}{\pi} \approx 7.006$.

$-7.006 < 1+2m < 7.006$

$-8.006 < 2m < 6.006$

$-4.003 < m < 3.003$

Поскольку $m$ - целое число, возможные значения для $m$: $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• $m = -4 \implies x = \frac{\pi(1-8)}{11} = -\frac{7\pi}{11}$
• $m = -3 \implies x = \frac{\pi(1-6)}{11} = -\frac{5\pi}{11}$
• $m = -2 \implies x = \frac{\pi(1-4)}{11} = -\frac{3\pi}{11}$
• $m = -1 \implies x = \frac{\pi(1-2)}{11} = -\frac{\pi}{11}$
• $m = 0 \implies x = \frac{\pi(1+0)}{11} = \frac{\pi}{11}$
• $m = 1 \implies x = \frac{\pi(1+2)}{11} = \frac{3\pi}{11}$
• $m = 2 \implies x = \frac{\pi(1+4)}{11} = \frac{5\pi}{11}$
• $m = 3 \implies x = \frac{\pi(1+6)}{11} = \frac{7\pi}{11}$

Все эти восемь корней удовлетворяют условию $|x| < 2$, так как $| \frac{7\pi}{11} | \approx \frac{7 \times 3.14}{11} \approx \frac{21.98}{11} \approx 1.998 < 2$.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый набор корней.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{\pi}{11}, \pm\frac{3\pi}{11}, \pm\frac{5\pi}{11}, \pm\frac{7\pi}{11}$.