Номер 3.44, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. 1) $\begin{cases} \mathrm{tg} x = \sin y, \\ \sin x = 2\mathrm{ctg} y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin y = 3 \sin x, \\ 2 \cos x + \cos y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \cos x + 3 \sin x = 2 \cos y, \\ \cos y + 3 \sin y = 2 \cos x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y, \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \operatorname{tg} x = \sin y \\ \sin x = 2\operatorname{ctg} y \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin y \neq 0 \implies y \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Из первого уравнения следует, что $ \operatorname{tg} x \neq 0 $, значит $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Перепишем второе уравнение как $ \sin x = \frac{2\cos y}{\sin y} $. Умножим его на первое уравнение $ \frac{\sin x}{\cos x} = \sin y $:
$\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\cos y}{\sin y} \cdot \sin y$
$\frac{\sin^2 x}{\cos x} = 2\cos y$

Из первого уравнения выразим $ \cos x = \frac{\sin x}{\sin y} $ и подставим в полученное выше выражение:
$\frac{\sin^2 x}{(\sin x / \sin y)} = 2\cos y$
$\sin x \sin y = 2\cos y$

Теперь возведем оба уравнения исходной системы в квадрат:
$\operatorname{tg}^2 x = \sin^2 y \implies \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 y \implies \sin^2 x = \sin^2 y \cos^2 x$
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{\cos^2 y}{\sin^2 y}$

Приравняем правые части выражений для $ \sin^2 x $:
$\sin^2 y \cos^2 x = 4\frac{\cos^2 y}{\sin^2 y}$
$\sin^4 y \cos^2 x = 4\cos^2 y$
Так как $ y \neq \pi n $, то $ \sin y \neq 0 $. Если $ \cos y = 0 $, то $ y = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Тогда $ \sin y = \pm 1 $ и $ \operatorname{ctg} y = 0 $. Из второго уравнения $ \sin x = 0 $, что противоречит ОДЗ ($ x \neq \pi k $). Значит $ \cos y \neq 0 $. Можем разделить на $ \cos^2 y $:
$\operatorname{tg}^2 y \sin^2 y \cos^2 x = 4$

Давайте используем другой, более простой подход. Выразим $ \sin^2 x $ и $ \cos^2 x $ через $ y $:
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y}$
$\cos^2 x = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x + 1} = \frac{1}{\sin^2 y + 1}$
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y} + \frac{1}{\sin^2 y + 1} = 1$
Пусть $ t = \sin^2 y $. С учетом ОДЗ $ 0 < t \leq 1 $.
$\frac{4(1-t)}{t} + \frac{1}{t+1} = 1$
Умножим на $ t(t+1) $:
$4(1-t)(t+1) + t = t(t+1)$
$4(1-t^2) + t = t^2 + t$
$4 - 4t^2 = t^2$
$5t^2 = 4 \implies t^2 = 4/5$
Так как $ t = \sin^2 y $, то $ t^2 = \sin^4 y $.
$\sin^4 y = 4/5 \implies \sin^2 y = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Теперь найдем $ \sin^2 x $:
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y} = 4\frac{1 - 2/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = 4\frac{(\sqrt{5}-2)/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = 2(\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5} - 4$

Мы получили значения для квадратов синусов. Пусть $ x_0 = \arcsin\sqrt{2\sqrt{5}-4} $ и $ y_0 = \arcsin\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}}} $.Проанализируем знаки в исходных уравнениях:
1) $ \operatorname{tg} x = \sin y \implies \frac{\sin x}{\cos x} = \sin y $. Знаки $ \operatorname{tg} x $ и $ \sin y $ должны совпадать.
2) $ \sin x = 2\operatorname{ctg} y \implies \sin x = \frac{2\cos y}{\sin y} \implies \sin x \sin y = 2\cos y $. Знак $ \cos y $ должен совпадать со знаком произведения $ \sin x \sin y $.
Это приводит к четырем случаям взаимного расположения $x$ и $y$ по квадрантам:
• $ x $ в I, $ y $ в I: $ \sin x>0, \cos x>0, \sin y>0, \cos y>0 $.
• $ x $ во II, $ y $ в III: $ \sin x>0, \cos x<0, \sin y<0, \cos y<0 $.
• $ x $ в III, $ y $ во II: $ \sin x<0, \cos x<0, \sin y>0, \cos y<0 $.
• $ x $ в IV, $ y $ в IV: $ \sin x<0, \cos x>0, \sin y<0, \cos y>0 $.

Ответ: $ (x, y) = (\pm x_0 + 2\pi k, \pm y_0 + 2\pi n) $, $ (x, y) = (\pi \mp x_0 + 2\pi k, \pi \pm y_0 + 2\pi n) $, где $ x_0 = \arcsin\sqrt{2\sqrt{5}-4} $, $ y_0 = \arcsin\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}}} $, $ k,n \in \mathbb{Z} $, и знаки в парах $ \pm $ берутся согласованно.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sin y = 3\sin x \\ 2\cos x + \cos y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $ \cos y = 1 - 2\cos x $.
Подставим $ \sin y $ и $ \cos y $ в основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $:
$(3\sin x)^2 + (1 - 2\cos x)^2 = 1$
$9\sin^2 x + 1 - 4\cos x + 4\cos^2 x = 1$
$9\sin^2 x + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
Заменим $ \sin^2 x $ на $ 1 - \cos^2 x $:
$9(1 - \cos^2 x) + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
$9 - 9\cos^2 x + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
$-5\cos^2 x - 4\cos x + 9 = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 9 = 0$

Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.
$5t^2 + 4t - 9 = 0$
Сумма коэффициентов $ 5+4-9=0 $, поэтому один из корней $ t_1 = 1 $.
По теореме Виета, $ t_1 t_2 = -9/5 $, значит $ t_2 = -9/5 $.
Корень $ t_2 = -9/5 = -1.8 $ не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, поэтому он является посторонним.
Единственное решение для $t$ это $ t=1 $.
$\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

При $ \cos x = 1 $, $ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1-1} = 0 $.
Найдем $y$:
$ \sin y = 3\sin x = 3 \cdot 0 = 0 $
$ \cos y = 1 - 2\cos x = 1 - 2 \cdot 1 = -1 $
Из условий $ \sin y = 0 $ и $ \cos y = -1 $ следует, что $ y = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x=2\pi k, y=\pi+2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \cos x + 3\sin x = 2\cos y \\ \cos y + 3\sin y = 2\cos x \end{cases}$

Рассмотрим случай $ x=y $. Оба уравнения становятся идентичными:
$ \cos x + 3\sin x = 2\cos x \implies 3\sin x = \cos x $
Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x=0 $, что невозможно. Поэтому $ \cos x \neq 0 $. Разделим на $ \cos x $:
$ \operatorname{tg} x = 1/3 \implies x = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Следовательно, $ x = y = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k $ является решением.

Теперь рассмотрим случай $ x \neq y $. Вычтем второе уравнение из первого:
$(\cos x - \cos y) + 3(\sin x - \sin y) = 2(\cos y - \cos x)$
$3(\cos x - \cos y) + 3(\sin x - \sin y) = 0$
$(\cos x + \sin x) - (\cos y + \sin y) = 0 \implies \cos x + \sin x = \cos y + \sin y$
Преобразуем: $ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(y+\frac{\pi}{4}) $.
Так как $ x \neq y $, то общее решение этого уравнения: $ x+\frac{\pi}{4} = \pi - (y+\frac{\pi}{4}) + 2\pi n $, что дает $ x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сложим исходные уравнения:
$(\cos x + \cos y) + 3(\sin x + \sin y) = 2(\cos y + \cos x)$
$3(\sin x + \sin y) = \cos x + \cos y$

Подставим $ y = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n $ в одно из исходных уравнений, например, в первое.
$ \cos y = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x $.
$ \cos x + 3\sin x = 2\sin x \implies \cos x + \sin x = 0 $.
Это уравнение выполняется, если $ \operatorname{tg} x = -1 $, то есть $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Тогда $ y = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{4} + \pi k) + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} - \pi k + 2\pi n $.

Ответ: 1) $ x = y = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $;
2) $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, y = \frac{3\pi}{4} - \pi k + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{2}\sin x = \sin y \\ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их:
$(\sqrt{2}\sin x)^2 + (\sqrt{2}\cos x)^2 = (\sin y)^2 + (\sqrt{3}\cos y)^2$
$2\sin^2 x + 2\cos^2 x = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2 = (1-\cos^2 y) + 3\cos^2 y$
$2 = 1 + 2\cos^2 y$
$1 = 2\cos^2 y \implies \cos^2 y = 1/2$
Отсюда $ \cos y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Подставим это значение во второе уравнение системы:
$\sqrt{2}\cos x = \sqrt{3} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проанализируем знаки.
Из уравнения $ \sqrt{2}\sin x = \sin y $ следует, что $ \sin x $ и $ \sin y $ должны иметь одинаковые знаки.
Из уравнения $ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y $ следует, что $ \cos x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковые знаки.
Это означает, что углы $x$ и $y$ должны лежать в одной и той же координатной четверти.

Найдем базовые решения.
Если $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}} $, то $ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k $ и $ y = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $.Совпадение знаков синусов и косинусов означает, что мы должны брать знаки согласованно: $ x = \frac{\pi}{6} $ с $ y = \frac{\pi}{4} $ (I четверть) и $ x = -\frac{\pi}{6} $ с $ y = -\frac{\pi}{4} $ (IV четверть).
Если $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}} $, то $ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $ и $ y = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.Согласование знаков дает пары: $ x = \frac{5\pi}{6} $ с $ y = \frac{3\pi}{4} $ (II четверть) и $ x = -\frac{5\pi}{6} $ с $ y = -\frac{3\pi}{4} $ (III четверть).

Эти четыре набора решений можно компактно записать, связав периоды.
1) $ x = \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \frac{\pi}{4} + k\pi $. При четном $k$ это решения в I четверти, при нечетном $k$ - в III.
2) $ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, y = -\frac{\pi}{4} + k\pi $. При четном $k$ это решения в IV четверти, при нечетном $k$ - во II.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $, и знаки в обеих частях выбираются одинаковыми.