Номер 3.41, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. Покажите, что уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ не имеет решения.

Для доказательства того, что уравнение не имеет решений, преобразуем его с помощью тригонометрических тождеств.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Применим эту формулу к правой части исходного уравнения:

$\cos(\sin x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin x)$

Теперь исходное уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ можно записать в следующем виде:

$\sin(\cos x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin x)$

Уравнение вида $\sin A = \sin B$ равносильно совокупности двух серий решений:

$A = B + 2\pi k$

$A = \pi - B + 2\pi k$

где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Применим это к нашему уравнению, где $A = \cos x$ и $B = \frac{\pi}{2} - \sin x$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $\cos x = \frac{\pi}{2} - \sin x + 2\pi k$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы переменные были в одной части:

$\sin x + \cos x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin x + b\cos x$ можно представить как $R\sin(x+\phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1$ и $b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$

Теперь уравнение имеет вид:

$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Оценим возможные значения левой и правой частей. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому область значений левой части, $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$, — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь оценим правую часть $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Наименьшее по абсолютной величине значение правой части достигается при $k=0$ и равно $\frac{\pi}{2}$.

Сравним максимальное значение левой части с минимальным положительным значением правой. Используем приближенные значения: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.571$.

Поскольку $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$, наибольшее возможное значение левой части меньше, чем наименьшее положительное значение правой части. Следовательно, равенство невозможно, и в этом случае решений нет.

Случай 2: $\cos x = \pi - (\frac{\pi}{2} - \sin x) + 2\pi k$

Раскроем скобки и упростим:

$\cos x = \pi - \frac{\pi}{2} + \sin x + 2\pi k$

$\cos x - \sin x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Снова преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. $R = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Область значений левой части, $\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$, также является отрезком $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Правая часть идентична той, что была в первом случае.

Как и в первом случае, сравнение областей значений показывает, что равенство невозможно, так как $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$. Значит, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение $\sin(\cos x) = \cos(\sin x)$ не имеет решений, что и требовалось доказать.