Номер 3.36, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. 1) $\sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2}$;

2) $\cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x$;

3) $\frac{1 + \operatorname{tg}x}{1 - \operatorname{tg}x} = (\sin x + \cos x)^2$;

4) $\sin 3x + \sin x = 4 \sin^3 x$.

1) $ \sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2} $

Перенесем $ \sin^4 \frac{x}{2} $ в правую часть уравнения:

$ \sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} $

Применим к правой части формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ \sin 2x = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $.

$ \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 $

$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x $

Тогда уравнение принимает вид:

$ \sin 2x = \cos x $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = \cos x $

$ 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 3x $

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $:

$ 2(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2 \cos 3x $

Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} $. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $:

$ 2(\cos \frac{\pi}{3} \cos x - \sin \frac{\pi}{3} \sin x) = 2 \cos 3x $

$ 2 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 2 \cos 3x $

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos 3x $

Это равенство выполняется, если аргументы косинусов равны или противоположны с точностью до периода $ 2\pi n $:

1. $ x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ -2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 2x = \frac{\pi}{3} - 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} - \pi n $. Так как $ n $ – любое целое число, то $ -n $ также любое целое, поэтому можно записать $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2. $ x + \frac{\pi}{3} = -3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} = (\sin x + \cos x)^2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 1 - \tg x \neq 0 \implies \tg x \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{1 + \tg x}{1 - \tg x} = 1 + \sin 2x $

Сделаем замену $ t = \tg x $. Используем формулу $ \sin 2x = \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} = \frac{2t}{1+t^2} $:

$ \frac{1 + t}{1 - t} = 1 + \frac{2t}{1+t^2} $

$ \frac{1 + t}{1 - t} = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2} $

Перенесем все в одну сторону:

$ \frac{(1+t)^2}{1+t^2} - \frac{1+t}{1-t} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (1+t) $:

$ (1+t) \left( \frac{1+t}{1+t^2} - \frac{1}{1-t} \right) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

1. $ 1+t = 0 \implies t = -1 $

$ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. $ \frac{1+t}{1+t^2} - \frac{1}{1-t} = 0 $

$ \frac{(1+t)(1-t) - (1+t^2)}{(1+t^2)(1-t)} = 0 $

$ (1-t^2) - (1+t^2) = 0 $

$ 1 - t^2 - 1 - t^2 = 0 $

$ -2t^2 = 0 \implies t = 0 $

$ \tg x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin 3x + \sin x = 4 \sin^3 x $

Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x $.

Подставим ее в уравнение:

$ (3 \sin x - 4 \sin^3 x) + \sin x = 4 \sin^3 x $

Приведем подобные члены:

$ 4 \sin x - 4 \sin^3 x = 4 \sin^3 x $

$ 4 \sin x = 8 \sin^3 x $

Разделим обе части на 4 и перенесем все в одну сторону:

$ 2 \sin^3 x - \sin x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (2 \sin^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2 \sin^2 x - 1 = 0 \implies \sin^2 x = \frac{1}{2} $.

Отсюда $ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решения этого уравнения можно записать в виде $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Это эквивалентно уравнению $ \cos(2x)=0 $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.