Номер 3.37, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Найдите все корни уравнения $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$, лежащие на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Исходное уравнение $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$ равносильно системе, состоящей из самого уравнения, возведенного в квадрат, и условий неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} \sin(1-x) = \cos x \\ \cos x \ge 0 \\ \sin(1-x) \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что $\sin(1-x)$ и $\cos x$ равны, поэтому достаточно оставить только одно из условий неотрицательности, например $\cos x \ge 0$. Таким образом, система упрощается:

$\begin{cases} \sin(1-x) = \cos x \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

По условию задачи, искомые корни должны принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Для всех $x$ из этого отрезка условие $\cos x \ge 0$ выполняется. Следовательно, нам нужно найти решения уравнения $\sin(1-x) = \cos x$ и выбрать из них те, что лежат на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$:

$\sin(1-x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$

Решения этого уравнения можно найти из двух соотношений ($n \in \mathbb{Z}$):

1) $1-x = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n$

$1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies 2\pi n = 1 - \frac{\pi}{2}$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $n$, так как правая часть не кратна $2\pi$.

2) $1-x = \pi - (\frac{\pi}{2} - x) + 2\pi n$

$1-x = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n$

$2x = 1 - \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi n$. Заменив $-n$ на $m \in \mathbb{Z}$, получим более удобную запись: $x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi m$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, решив двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi m \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \le \pi m \le \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \le \pi m \le \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi} \le m \le \frac{3}{4} - \frac{1}{2\pi}$

Используя приближенное значение $\frac{1}{2\pi} \approx 0.16$, получим:

$-0.25 - 0.16 \le m \le 0.75 - 0.16$

$-0.41 \le m \le 0.59$

Единственное целое число $m$ в этом интервале — это $m=0$.

При $m=0$ получаем единственный корень:

$x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}$

Этот корень принадлежит заданному отрезку и удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}$.