Номер 3.35, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.35. 1) $ctg^2 x - tg^2 x = 32 \cos^3 2x$;

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 8 \sin x \sin 3x$;

3) $tg 2x + ctg x = 8 \cos^2 x$;

4) $\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = -2 \cos 2x$.

1) ctg²x - tg²x = 32cos³2x
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для существования $ctg(x)$ необходимо, чтобы $sin(x) \ne 0$.
Для существования $tg(x)$ необходимо, чтобы $cos(x) \ne 0$.
Следовательно, $sin(x)cos(x) \ne 0$, что эквивалентно $\frac{1}{2}sin(2x) \ne 0$, то есть $sin(2x) \ne 0$.
Отсюда $2x \ne \pi n$, $x \ne \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Преобразуем левую часть уравнения:
$ctg^2x - tg^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x} - \frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{cos^4x - sin^4x}{sin^2x cos^2x}$
В числителе используем формулу разности квадратов:
$cos^4x - sin^4x = (cos^2x - sin^2x)(cos^2x + sin^2x) = cos(2x) \cdot 1 = cos(2x)$.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла:
$sin^2x cos^2x = (sinx cosx)^2 = (\frac{1}{2}sin(2x))^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.
Таким образом, левая часть равна: $\frac{cos(2x)}{\frac{1}{4}sin^2(2x)} = \frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)}$.
Получаем уравнение: $\frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)} = 32cos^3(2x)$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $cos(2x) = 0$.
Тогда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ ($x \ne \frac{\pi n}{2}$).
При $cos(2x)=0$ обе части уравнения обращаются в 0, следовательно, это решение.
Случай 2: $cos(2x) \ne 0$.
Разделим обе части на $4cos(2x)$:
$\frac{1}{sin^2(2x)} = 8cos^2(2x)$.
$1 = 8sin^2(2x)cos^2(2x) = 2 \cdot (2sin(2x)cos(2x))^2 = 2sin^2(4x)$.
$sin^2(4x) = \frac{1}{2}$.
$sin(4x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$4x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, $m \in Z$.
Эти значения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $k, m \in Z$.

2) (cos x / cos 3x) - (cos 3x / cos x) = 8sin x sin 3x
ОДЗ: $cos(x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $cos(3x) \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)} = 8sin(x)sin(3x)$.
Преобразуем числитель левой части: $cos^2x - cos^2(3x) = (1-sin^2x) - (1-sin^2(3x)) = sin^2(3x) - sin^2x$.
Используем формулу разности квадратов синусов $sin^2A - sin^2B = sin(A-B)sin(A+B)$:
$sin^2(3x) - sin^2x = sin(3x-x)sin(3x+x) = sin(2x)sin(4x)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{sin(2x)sin(4x)}{cos(x)cos(3x)} = 8sin(x)sin(3x)$.
Перенесем знаменатель в правую часть (с учетом ОДЗ):
$sin(2x)sin(4x) = 8sin(x)cos(x)sin(3x)cos(3x)$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$:
$8sin(x)cos(x)sin(3x)cos(3x) = 2 \cdot (2sin(x)cos(x)) \cdot (2sin(3x)cos(3x)) = 2sin(2x)sin(6x)$.
Получаем уравнение: $sin(2x)sin(4x) = 2sin(2x)sin(6x)$.
$sin(2x)sin(4x) - 2sin(2x)sin(6x) = 0$.
$sin(2x)(sin(4x) - 2sin(6x)) = 0$.
Случай 1: $sin(2x)=0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$), получаем $x = \pi n$, $n \in Z$.
Случай 2: $sin(4x) - 2sin(6x) = 0 \implies sin(4x) = 2sin(6x)$.
Пусть $y=2x$. Тогда $sin(2y) = 2sin(3y)$.
$2sin(y)cos(y) = 2(3sin(y) - 4sin^3(y))$.
Поскольку $sin(y)=sin(2x)=0$ рассмотрено в первом случае, здесь $sin(y) \ne 0$, можно разделить на $2sin(y)$:
$cos(y) = 3 - 4sin^2(y) = 3 - 4(1-cos^2(y)) = -1 + 4cos^2(y)$.
$4cos^2(y) - cos(y) - 1 = 0$.
Пусть $t = cos(y) = cos(2x)$. $4t^2 - t - 1 = 0$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Так как $|(1 \pm \sqrt{17})/8| < 1$, оба корня подходят.
$cos(2x) = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
$2x = \pm arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + 2\pi k \implies x = \pm \frac{1}{2}arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + \pi k$, $k \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{1}{2}arccos(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.

3) tg 2x + ctg x = 8cos²x
ОДЗ: $cos(2x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, и $sin(x) \ne 0 \implies x \ne \pi n$, где $k, n \in Z$.
Преобразуем левую часть:
$tg(2x) + ctg(x) = \frac{sin(2x)}{cos(2x)} + \frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{sin(2x)sin(x) + cos(2x)cos(x)}{cos(2x)sin(x)}$.
Числитель является формулой косинуса разности: $cos(2x-x) = cos(x)$.
Левая часть равна $\frac{cos(x)}{cos(2x)sin(x)}$.
Уравнение принимает вид: $\frac{cos(x)}{cos(2x)sin(x)} = 8cos^2(x)$.
Случай 1: $cos(x) = 0$.
Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подставляя в исходное уравнение, получаем $0=0$. Следовательно, это решение.
Случай 2: $cos(x) \ne 0$.
Разделим обе части на $cos(x)$:
$\frac{1}{cos(2x)sin(x)} = 8cos(x)$.
$1 = 8sin(x)cos(x)cos(2x) = 4 \cdot (2sin(x)cos(x)) \cdot cos(2x) = 4sin(2x)cos(2x) = 2sin(4x)$.
$sin(4x) = \frac{1}{2}$.
$4x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$.
$x = (-1)^m \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{4}$, $m \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = (-1)^m \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{4}$, где $k, m \in Z$.

4) (cos x / cos 3x) - (cos 3x / cos x) = -2cos 2x
ОДЗ: $cos(x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $cos(3x) \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in Z$.
Левая часть, как и в задаче 2, преобразуется к виду $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)}$.
Уравнение: $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{cos(x)cos(3x)} = -2cos(2x)$.
$cos^2x - cos^2(3x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
Используем формулу $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:
$\frac{1+cos(2x)}{2} - \frac{1+cos(6x)}{2} = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$\frac{1}{2}(cos(2x) - cos(6x)) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
Используем формулу разности косинусов: $cos(2x) - cos(6x) = -2sin(\frac{2x+6x}{2})sin(\frac{2x-6x}{2}) = -2sin(4x)sin(-2x) = 2sin(4x)sin(2x)$.
$\frac{1}{2}(2sin(4x)sin(2x)) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$sin(4x)sin(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$2sin(2x)cos(2x)sin(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$2sin^2(2x)cos(2x) = -2cos(x)cos(3x)cos(2x)$.
$cos(2x) \cdot (sin^2(2x) + cos(x)cos(3x)) = 0$.
Случай 1: $cos(2x) = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.
Проверим ОДЗ: $cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) \ne 0$ и $cos(3(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})) = cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}) \ne 0$. Оба условия выполняются. Подстановка в исходное уравнение: $\frac{cos^2x - cos^2(3x)}{...} = -2 \cdot 0 = 0$. Если $cos(2x)=0$, то $2cos^2x-1=0 \implies cos^2x=1/2$. $cos(6x)=cos(3 \cdot 2x)=cos(\frac{3\pi}{2}+3\pi n)=0$. Тогда $2cos^2(3x)-1=0 \implies cos^2(3x)=1/2$. Числитель $cos^2x - cos^2(3x) = 1/2 - 1/2 = 0$. Следовательно, это решение.
Случай 2: $sin^2(2x) + cos(x)cos(3x) = 0$.
$sin^2(2x) + \frac{1}{2}(cos(2x) + cos(4x)) = 0$.
$1-cos^2(2x) + \frac{1}{2}(cos(2x) + 2cos^2(2x)-1) = 0$.
$1-cos^2(2x) + \frac{1}{2}cos(2x) + cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 0$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(2x) = 0 \implies cos(2x) = -1$.
$2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Эти значения не входят в ОДЗ, так как $cos(x)=cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)=0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.