Номер 3.31, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.31. При каких действительных значениях $a$ уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет решения? Найдите их.

При каких действительных значениях a уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет решения?

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения, $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Преобразуем это выражение.

Используя формулу квадрата суммы $u^2+v^2=(u+v)^2-2uv$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.

Далее применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2(2x)$. Подставив это в наше выражение, получим:

$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.

Теперь найдем область значений этой функции. Поскольку для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2(2x) \le 1$, мы можем найти границы для значений $f(x)$:

Максимальное значение функции достигается при $\sin^2(2x) = 0$: $f_{max} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$.

Минимальное значение функции достигается при $\sin^2(2x) = 1$: $f_{min} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, уравнение имеет решения при $a$, принадлежащем отрезку $[\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Найдите их.

Для $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ найдем корни уравнения $\sin^4 x + \cos^4 x = a$. Как было показано выше, это уравнение эквивалентно следующему:

$1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = a$.

Выразим из него $\sin^2(2x)$:

$\frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - a \implies \sin^2(2x) = 2(1 - a)$.

Чтобы найти $x$, воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2(1 - a)$,

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = 2(1 - a)$.

Отсюда $\cos(4x) = 1 - 4(1 - a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Окончательно получаем решения для $x$, разделив обе части на 4:

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ решениями уравнения являются $x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для других значений $a$ решений нет.