Номер 3.27, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Решите уравнение методом разложения на множители:

1) $\sin(ax + b) = \sin(cx + d);$

2) $\sin(ax + b) = \cos(cx + d);$

3) $\cos 3x + \sin 5x = 0;$

4) $\sin x \cos 5x = \sin 9x \cdot \cos 3x;$

5) $\cos^3 x + \sin^3 x = \cos 2x;$

6) $\sin ax \cdot \sin bx = \cos cx \cdot \cos dx, a - b = c - d.$

1) Перенесем все члены в одну сторону уравнения: $ \sin(ax+b) - \sin(cx+d) = 0 $.
Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{(ax+b)-(cx+d)}{2}\cos\frac{(ax+b)+(cx+d)}{2} = 0 $
$ \sin\frac{(a-c)x + b-d}{2}\cos\frac{(a+c)x + b+d}{2} = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1. $ \sin\frac{(a-c)x + b-d}{2} = 0 $
$ \frac{(a-c)x + b-d}{2} = k\pi $, где $ k \in Z $
$ (a-c)x + b-d = 2k\pi $
При $ a \ne c $: $ x = \frac{2k\pi - b + d}{a-c} $
2. $ \cos\frac{(a+c)x + b+d}{2} = 0 $
$ \frac{(a+c)x + b+d}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in Z $
$ (a+c)x + b+d = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi $
При $ a \ne -c $: $ x = \frac{(2n+1)\pi - b - d}{a+c} $
Ответ: $ x = \frac{2k\pi + d - b}{a-c} $, $ x = \frac{(2n+1)\pi - b - d}{a+c} $, где $ k, n \in Z $ (при $ a^2 \ne c^2 $).

2) Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin(ax+b) = \sin(\frac{\pi}{2} - (cx+d)) $
$ \sin(ax+b) - \sin(\frac{\pi}{2} - cx - d) = 0 $
Применим формулу разности синусов, как в предыдущем пункте:
$ 2\sin\frac{(ax+b)-(\frac{\pi}{2}-cx-d)}{2}\cos\frac{(ax+b)+(\frac{\pi}{2}-cx-d)}{2} = 0 $
$ \sin\frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin\frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
$ \frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2} = k\pi $, где $ k \in Z $
$ (a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2} = 2k\pi $
При $ a \ne -c $: $ x = \frac{2k\pi + \frac{\pi}{2} - b - d}{a+c} = \frac{(4k+1)\pi/2 - b - d}{a+c} $
2. $ \cos\frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
$ \frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in Z $
$ (a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2} = \pi + 2n\pi $
При $ a \ne c $: $ x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2n\pi - b + d}{a-c} = \frac{(4n+1)\pi/2 - b + d}{a-c} $
Ответ: $ x = \frac{(4k+1)\pi/2 - b - d}{a+c} $, $ x = \frac{(4n+1)\pi/2 - b + d}{a-c} $, где $ k, n \in Z $ (при $ a^2 \ne c^2 $).

3) Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin(\frac{\pi}{2}-3x) + \sin(5x) = 0 $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{(\frac{\pi}{2}-3x)+5x}{2}\cos\frac{(\frac{\pi}{2}-3x)-5x}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\frac{\pi}{2}+2x}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2}-8x}{2} = 0 $
$ \sin(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-4x) = 0 $
Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, то $ \cos(\frac{\pi}{4}-4x) = \cos(4x-\frac{\pi}{4}) $.
$ \sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(4x-\frac{\pi}{4}) = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin(x+\frac{\pi}{4}) = 0 $
$ x+\frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in Z $
2. $ \cos(4x-\frac{\pi}{4}) = 0 $
$ 4x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies 4x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \implies x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} $, где $ k, n \in Z $.

4) Применим формулу произведения синуса на косинус $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)) $:
Левая часть: $ \sin x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(x+5x)+\sin(x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) $
Правая часть: $ \sin 9x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(9x+3x)+\sin(9x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $
Приравниваем обе части:
$ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $
$ \sin 6x - \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x $
$ -\sin 4x = \sin 12x \implies \sin 12x + \sin 4x = 0 $
Применяем формулу суммы синусов:
$ 2\sin\frac{12x+4x}{2}\cos\frac{12x-4x}{2} = 0 $
$ \sin 8x \cos 4x = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin 8x = 0 \implies 8x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in Z $
2. $ \cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} = \frac{(2n+1)\pi}{8} $, где $ n \in Z $
Вторая серия решений является подмножеством первой (при нечетных $ k $). Следовательно, достаточно указать только первую серию.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in Z $.

5) Разложим левую часть по формуле суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Правую часть разложим по формуле косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $.
$ (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ (\cos x + \sin x)(1 - \frac{1}{2}\sin 2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $:
$ (\cos x + \sin x) \left( (1 - \frac{1}{2}\sin 2x) - (\cos x - \sin x) \right) = 0 $
$ (\cos x + \sin x) (1 - \sin x \cos x - \cos x + \sin x) = 0 $
Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $ (1-\cos x) + (\sin x - \sin x \cos x) = (1-\cos x) + \sin x(1-\cos x) = (1-\cos x)(1+\sin x) $.
Уравнение принимает вид:
$ (\cos x + \sin x)(1 - \cos x)(1 + \sin x) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $ \cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in Z $
2. $ 1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2n\pi $, где $ n \in Z $
3. $ 1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi $, где $ m \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, $ x = 2n\pi $, $ x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi $, где $ k, n, m \in Z $.

6) Применим формулы преобразования произведения в сумму/разность:
$ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $
$ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $
Левая часть: $ \sin(ax)\sin(bx) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x) - \cos((a+b)x)) $
Правая часть: $ \cos(cx)\cos(dx) = \frac{1}{2}(\cos((c+d)x) + \cos((c-d)x)) $
Приравниваем и умножаем на 2:
$ \cos((a-b)x) - \cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) + \cos((c-d)x) $
По условию $ a-b = c-d $. Подставим это в уравнение:
$ \cos((a-b)x) - \cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) + \cos((a-b)x) $
$ -\cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) $
$ \cos((a+b)x) + \cos((c+d)x) = 0 $
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\cos\frac{(a+b)x+(c+d)x}{2}\cos\frac{(a+b)x-(c+d)x}{2} = 0 $
$ \cos\frac{(a+b+c+d)x}{2}\cos\frac{(a+b-c-d)x}{2} = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \cos\frac{(a+b+c+d)x}{2} = 0 $
$ \frac{(a+b+c+d)x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{a+b+c+d} $, где $ k \in Z $
2. $ \cos\frac{(a+b-c-d)x}{2} = 0 $
$ \frac{(a+b-c-d)x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{a+b-c-d} $, где $ n \in Z $
Ответ: $ x = \frac{(2k+1)\pi}{a+b+c+d} $, $ x = \frac{(2n+1)\pi}{a+b-c-d} $, где $ k, n \in Z $ (при условии, что знаменатели не равны нулю).