Номер 3.21, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Решите уравнение $\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin x \cos x} = a$, при всех действительных значениях параметра $a$.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $\sin x \cos x$:$$ \frac{\sin x + \cos x + 1}{\sin x \cos x} = a $$

Введем замену $t = \sin x + \cos x$. Возводя обе части в квадрат, получаем $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x$. Отсюда выражаем $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.Подставим это в преобразованное уравнение:$$ \frac{t+1}{\frac{t^2-1}{2}} = a $$$$ \frac{2(t+1)}{(t-1)(t+1)} = a $$

Из ОДЗ следует, что $\sin x \cos x \neq 0$, а значит $\frac{t^2-1}{2} \neq 0$, откуда $t \neq \pm 1$. Так как $t \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(t+1)$:$$ \frac{2}{t-1} = a $$

Проанализируем это уравнение. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2=0$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ решений нет. Если $a \neq 0$, то $t-1 = \frac{2}{a}$, откуда $t = 1 + \frac{2}{a}$.

Теперь необходимо выяснить, какие значения может принимать $t = \sin x + \cos x$. Используя метод вспомогательного угла, получаем $t = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то $t$ может принимать значения из отрезка $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. С учетом ограничений $t \neq \pm 1$, множество допустимых значений для $t$ есть $[-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{2}]$.

Найдем, при каких значениях параметра $a$ величина $t = 1 + \frac{2}{a}$ попадает в это множество.
1. Рассмотрим случай $t \in (1, \sqrt{2}]$.$1 < 1 + \frac{2}{a} \le \sqrt{2}$. Из левого неравенства $1 < 1 + \frac{2}{a}$ следует $\frac{2}{a} > 0$, что выполняется при $a > 0$. Из правого неравенства $1 + \frac{2}{a} \le \sqrt{2}$ следует $\frac{2}{a} \le \sqrt{2}-1$. Так как $a>0$, то $a \ge \frac{2}{\sqrt{2}-1} = 2(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}+2$. Таким образом, $a \in [2\sqrt{2}+2, +\infty)$.
2. Рассмотрим случай $t \in [-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, 1)$. Это можно записать как систему неравенств $-\sqrt{2} \le 1 + \frac{2}{a} < 1$ и $1+\frac{2}{a} \neq -1$.Из неравенства $1 + \frac{2}{a} < 1$ следует $\frac{2}{a} < 0$, что выполняется при $a < 0$.Рассмотрим неравенство $-\sqrt{2} \le 1 + \frac{2}{a}$, то есть $-\sqrt{2}-1 \le \frac{2}{a}$. Умножив обе части на $a < 0$ и изменив знак неравенства, получим $a(-\sqrt{2}-1) \ge 2$, то есть $-a(\sqrt{2}+1) \ge 2$, откуда $a \le \frac{-2}{\sqrt{2}+1} = -2(\sqrt{2}-1) = 2-2\sqrt{2}$.Условие $1+\frac{2}{a} \neq -1$ дает $\frac{2}{a} \neq -2$, то есть $a \neq -1$.Объединяя условия, получаем $a \in (-\infty, 2-2\sqrt{2}]$ и $a \neq -1$, то есть $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2-2\sqrt{2}]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет решения при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2-2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}+2, +\infty)$. При всех других значениях $a$, то есть при $a \in \{-1\} \cup (2-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}+2)$, решений нет.

Найдем сами решения $x$. Мы решаем уравнение $\sin x + \cos x = 1+\frac{2}{a}$, что эквивалентно $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1+\frac{2}{a}$. Отсюда$$ \sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{2}{a}\right) = \frac{a+2}{a\sqrt{2}} $$Решения этого уравнения ($k, n \in \mathbb{Z}$):$$ x = -\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{a+2}{a\sqrt{2}}\right) + 2\pi k $$$$ x = \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{a+2}{a\sqrt{2}}\right) + 2\pi n $$На границах найденных интервалов для $a$ эти две серии решений совпадают.При $a = 2-2\sqrt{2}$, $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1$, откуда $x = -\frac{3\pi}{4}+2\pi k$.При $a = 2\sqrt{2}+2$, $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4}+2\pi k$.

Ответ:
• При $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2-2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}+2, +\infty)$ уравнение имеет две серии решений:
$x = -\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{a+2}{a\sqrt{2}}\right) + 2\pi k$,
$x = \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{a+2}{a\sqrt{2}}\right) + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
• При $a = 2-2\sqrt{2}$ уравнение имеет одну серию решений:
$x = -\frac{3\pi}{4}+2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• При $a = 2\sqrt{2}+2$ уравнение имеет одну серию решений:
$x = \frac{\pi}{4}+2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• При $a \in \{-1\} \cup (2-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}+2)$ решений нет.