Номер 3.17, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. 1) $ (\\sin 7x + \\cos 7x)^2 = 2\\sin^2 11x ; $

2) $ \\sin x + \\cos x = \\sqrt{2} \\sin 7x ; $

3) $ (\\sin 3x + \\sin 5x)^2 = (\\cos 3x + \\cos 5x)^2 ; $

4) $ \\sin 10x + \\cos 10x = \\sqrt{2} \\sin 15x . $

1) $(\sin 7x + \cos 7x)^2 = 2\sin^2 11x$

Раскроем квадрат в левой части уравнения:
$\sin^2 7x + 2\sin 7x \cos 7x + \cos^2 7x = 2\sin^2 11x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, получаем:
$1 + \sin(2 \cdot 7x) = 2\sin^2 11x$
$1 + \sin 14x = 2\sin^2 11x$
Применим формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha$ для правой части:
$1 + \sin 14x = 1 - \cos(2 \cdot 11x)$
$1 + \sin 14x = 1 - \cos 22x$
$\sin 14x = -\cos 22x$
$\sin 14x + \cos 22x = 0$
Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\sin 14x + \sin(\frac{\pi}{2} - 22x) = 0$
Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\sin\frac{14x + \frac{\pi}{2} - 22x}{2}\cos\frac{14x - (\frac{\pi}{2} - 22x)}{2} = 0$
$2\sin(\frac{\frac{\pi}{2} - 8x}{2})\cos(\frac{36x - \frac{\pi}{2}}{2}) = 0$
$\sin(\frac{\pi}{4} - 4x)\cos(18x - \frac{\pi}{4}) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
а) $\sin(\frac{\pi}{4} - 4x) = 0$
$\frac{\pi}{4} - 4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$-4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi n}{4}$
б) $\cos(18x - \frac{\pi}{4}) = 0$
$18x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$18x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$
$x = \frac{3\pi}{72} + \frac{\pi k}{18} = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{18}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{18}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin 7x$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin 7x$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 7x$
Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 7x$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin 7x$
Это уравнение равносильно двум сериям решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = 7x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$-6x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{3}$
б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - 7x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$8x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $(\sin 3x + \sin 5x)^2 = (\cos 3x + \cos 5x)^2$

Перенесем правую часть уравнения налево и применим формулу разности квадратов:
$(\sin 3x + \sin 5x)^2 - (\cos 3x + \cos 5x)^2 = 0$
$((\sin 5x + \sin 3x) - (\cos 5x + \cos 3x))((\sin 5x + \sin 3x) + (\cos 5x + \cos 3x)) = 0$
Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$\sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x$
$\cos 5x + \cos 3x = 2\cos\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\cos 4x \cos x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(2\sin 4x \cos x - 2\cos 4x \cos x)(2\sin 4x \cos x + 2\cos 4x \cos x) = 0$
$4\cos^2 x (\sin 4x - \cos 4x)(\sin 4x + \cos 4x) = 0$
$4\cos^2 x (\sin^2 4x - \cos^2 4x) = 0$
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:
$4\cos^2 x (-\cos(2 \cdot 4x)) = 0$
$-4\cos^2 x \cos 8x = 0$
Отсюда получаем совокупность двух уравнений:
а) $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
б) $\cos 8x = 0$
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 10x + \cos 10x = \sqrt{2} \sin 15x$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 10x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 10x) = \sqrt{2}\sin 15x$
$\sqrt{2}(\sin 10x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 10x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 15x$
$\sqrt{2}\sin(10x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 15x$
$\sin(10x + \frac{\pi}{4}) = \sin 15x$
Это уравнение равносильно двум сериям решений:
а) $10x + \frac{\pi}{4} = 15x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$-5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{20} - \frac{2\pi n}{5}$
б) $10x + \frac{\pi}{4} = \pi - 15x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$25x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$25x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi k}{25}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi k}{25}, k \in \mathbb{Z}$.