Номер 3.12, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.12–3.14 решите уравнения методом сведения их к однородным уравнениям.

3. 12.

1) $2 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 4$;

2) $\sin 2x - 3 \cos^2 x = 4$;

3) $\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5$;

4) $4 \cos^2 \frac{x}{2} + 0,5 \sin x + 3 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$.

1) $2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 4$

Чтобы свести уравнение к однородному, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Заменим число 4 в правой части на выражение $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$2\sin x \cos x + 5\cos^2 x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$-4\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, не являются ли решениями значения $x$, для которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $4(1) - 0 - 0 = 0$, то есть $4=0$, что является ложным равенством. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$4\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$

Введем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение $4t^2 - 2t - 1 = 0$.

Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Вернемся к замене:

$\tan x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ или $\tan x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Тогда решения уравнения:

$x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x - 3\cos^2 x = 4$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 4$

Сведем уравнение к однородному, заменив $4$ на $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$

Перенесем все члены в правую часть:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1) - 0 + 0 = 0$, то есть $4=0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части на $\cos^2 x$:

$4\tan^2 x - 2\tan x + 7 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение $4t^2 - 2t + 7 = 0$.

Найдем его дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 4 - 112 = -108$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5$

Приведем уравнение к однородному. Для этого представим правую часть $0,5$ как $0,5 \cdot 1^2 = 0,5(\sin^2 x + \cos^2 x)^2$.

$\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5(\sin^2 x + \cos^2 x)^2$

$\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$

Умножим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:

$2\sin^4 x - 2\cos^4 x - (\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 0$

$\sin^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x - 3\cos^4 x = 0$

Это однородное уравнение четвертой степени. Если $\cos x = 0$, то $\sin^4 x = 1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Значит $\cos x \neq 0$.

Разделим уравнение на $\cos^4 x$:

$\tan^4 x - 2\tan^2 x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan^2 x$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Таким образом, $\tan^2 x = 3$, откуда $\tan x = \pm\sqrt{3}$.

Если $\tan x = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\tan x = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\cos^2 \frac{x}{2} + 0,5\sin x + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$:

$4\cos^2 \frac{x}{2} + 0,5\left(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right) + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

$4\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Сведем к однородному уравнению, заменив $3$ на $3\left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right)$:

$4\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3\sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$\left(4\cos^2 \frac{x}{2} - 3\cos^2 \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \left(3\sin^2 \frac{x}{2} - 3\sin^2 \frac{x}{2}\right) = 0$

$\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$\cos \frac{x}{2} \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 0$

Это однородное уравнение первого порядка. Разделим его на $\cos \frac{x}{2}$ (как мы выясняли ранее, $\cos \frac{x}{2}$ не может быть равен нулю в данном случае, так как это повлекло бы за собой и $\sin \frac{x}{2} = 0$, что невозможно).

$1 + \tan \frac{x}{2} = 0$

$\tan \frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.