Номер 3.6, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.6. 1) $\sqrt{2} \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

2) $2 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{3} \cdot \mathrm{tg} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$;

4) $\mathrm{ctg} \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

1) Решим уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$.
Сначала разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin(t)=a$ имеет вид $t=(-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = x-\frac{\pi}{6}$, а значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$x-\frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение для уравнения $\cos(t)=a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = 2x+\frac{\pi}{3}$, а $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$2x+\frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Выразим $2x$:
$2x = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{6} \pm\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Этот ответ можно записать в виде двух серий решений:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k$.
$x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{2\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{3\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} \pm\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3}\cdot\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=1$.
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:
$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Общее решение для уравнения $\operatorname{tg}(t)=a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$, а $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 2\left(\frac{5\pi}{12} + \pi n\right) = \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$.
Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg}(t)=a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x+\frac{\pi}{3}$, а $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$2x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m$.
Выразим $2x$:
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi m$.
Приводим дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi m = -\frac{\pi}{6} + \pi m$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.