Номер 3.2, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. 1) $\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$;

3) $\operatorname{tg} 2x = -1$;

4) $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.

1) Решим уравнение $\sin{2x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin{t} = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin{a} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $2x$:
$2x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos{t} = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos{a} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$
$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\,2x = -1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{tg}\,t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arctg}\,a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = 2x$ и $a = -1$.
Находим значение арктангенса: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $2x$:
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-\frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{ctg}\,\frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{ctg}\,t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arcctg}\,a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\sqrt{3}$.
Находим значение арккотангенса: $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot (\frac{5\pi}{6} + \pi k)$
$x = \frac{10\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.