Страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.1–3.6, 3.8–3.11 решите уравнения.

3. 1.

1) $ \cos 2x = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) $ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{3} $;

4) $ \operatorname{ctg} 3x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

1) Дано уравнение $cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 2x$ и значение $a = \frac{1}{2}$.

Найдем значение арккосинуса: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении аргумент $t = \frac{x}{3}$ и значение $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение арксинуса: $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k)$

$x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$.

Общее решение для уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь аргумент $t = \frac{x}{2}$ и значение $a = \sqrt{3}$.

Значение арктангенса: $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi n)$

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $ctg(3x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении аргумент $t = 3x$ и значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{3} + \pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3.2. 1) $\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$;

3) $\operatorname{tg} 2x = -1$;

4) $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.

1) Решим уравнение $\sin{2x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin{t} = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin{a} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $2x$:
$2x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos{t} = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos{a} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$
$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\,2x = -1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{tg}\,t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arctg}\,a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = 2x$ и $a = -1$.
Находим значение арктангенса: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $2x$:
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-\frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{ctg}\,\frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{ctg}\,t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arcctg}\,a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\sqrt{3}$.
Находим значение арккотангенса: $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу для $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot (\frac{5\pi}{6} + \pi k)$
$x = \frac{10\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3.3. 1) $2 \sin x - 1 = 0$;

2) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;

3) $3 \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$;

4) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 = 0$.

1) Решим уравнение $2\sin x - 1 = 0$.
Для начала выразим $\sin x$ из уравнения. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2\sin x = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на 2:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ записывается по формуле: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим это значение в формулу общего решения:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos x + \sqrt{3} = 0$.
Выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:
$2\cos x = -\sqrt{3}$
Разделим обе части на 2:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ записывается по формуле: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденное значение в формулу общего решения:
$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $3\operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$.
Выразим $\operatorname{tg} x$. Перенесем $-\sqrt{3}$ в правую часть:
$3\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$
Разделим обе части уравнения на 3:
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение для уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ записывается по формуле: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\sqrt{3}\operatorname{ctg} x + 1 = 0$.
Выразим $\operatorname{ctg} x$. Перенесем $1$ в правую часть:
$\sqrt{3}\operatorname{ctg} x = -1$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:
$\operatorname{ctg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение для уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ записывается по формуле: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3.4. 1) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0,5; $

2) $ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 1; $

4) $ \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{3}. $

1) Решим уравнение $\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = 0,5$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = x-\frac{\pi}{3}$ и значение $a = 0,5 = \frac{1}{2}$.
Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим известные значения в общую формулу решения:
$x-\frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном уравнении аргумент $t = x+\frac{\pi}{4}$ и значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим значения в общую формулу:
$x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$x = -\frac{\pi}{4} \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Данное решение можно представить в виде двух серий корней:
а) $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$.
б) $x_2 = -\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$.
Обе формы записи ответа являются верными.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{tg}(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь аргумент $t = 2x-\frac{\pi}{6}$ и значение $a = 1$.
Найдем значение арктангенса: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу:
$2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Выразим $2x$:
$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{ctg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{3}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{ctg}(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}$ и значение $a = \sqrt{3}$.
Найдем значение арккотангенса: $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим в общую формулу:
$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + \pi n$.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 24:
$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} + \pi n = \frac{\pi}{24} + \pi n$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{24} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{24} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3.5. 1) $4 \sin x + 3 = 0$;

2) $7 \cos x - 2 = 0$;

3) $\operatorname{tg} 3x + 10 = 0$;

4) $12 \operatorname{ctg} 2x = 5$.

1) Дано уравнение $4\sin x + 3 = 0$.

Для начала выразим $\sin x$:

$4\sin x = -3$

$\sin x = -\frac{3}{4}$

Поскольку значение $|\-\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$ имеет вид: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим в формулу значение $a = -\frac{3}{4}$:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k$

Воспользуемся свойством арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:

$x = (-1)^k (-\arcsin\frac{3}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $7\cos x - 2 = 0$.

Выразим $\cos x$:

$7\cos x = 2$

$\cos x = \frac{2}{7}$

Поскольку значение $|\frac{2}{7}| \le 1$, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $\cos x = a$ имеет вид: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим в формулу значение $a = \frac{2}{7}$:

$x = \pm\arccos(\frac{2}{7}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\arccos\frac{2}{7} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\operatorname{tg} 3x + 10 = 0$.

Выразим $\operatorname{tg} 3x$:

$\operatorname{tg} 3x = -10$

Общая формула для решения уравнения $\operatorname{tg} y = a$ имеет вид: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = -10$.

$3x = \operatorname{arctg}(-10) + \pi n$

Воспользуемся свойством арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$:

$3x = -\operatorname{arctg}(10) + \pi n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(10) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(10) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $12\operatorname{ctg} 2x = 5$.

Выразим $\operatorname{ctg} 2x$:

$\operatorname{ctg} 2x = \frac{5}{12}$

Общая формула для решения уравнения $\operatorname{ctg} y = a$ имеет вид: $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{5}{12}$.

$2x = \operatorname{arcctg}(\frac{5}{12}) + \pi n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(\frac{5}{12}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{5}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

3.6. 1) $\sqrt{2} \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

2) $2 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{3} \cdot \mathrm{tg} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$;

4) $\mathrm{ctg} \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

1) Решим уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$.
Сначала разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin(t)=a$ имеет вид $t=(-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = x-\frac{\pi}{6}$, а значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$x-\frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение для уравнения $\cos(t)=a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = 2x+\frac{\pi}{3}$, а $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$2x+\frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Выразим $2x$:
$2x = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{6} \pm\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Этот ответ можно записать в виде двух серий решений:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k$.
$x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{2\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k = -\frac{3\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} \pm\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3}\cdot\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=1$.
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:
$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Общее решение для уравнения $\operatorname{tg}(t)=a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$, а $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 2\left(\frac{5\pi}{12} + \pi n\right) = \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$.
Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg}(t)=a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x+\frac{\pi}{3}$, а $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$2x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m$.
Выразим $2x$:
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi m$.
Приводим дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi m = -\frac{\pi}{6} + \pi m$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

3.7. Найдите решения, лежащие в указанном промежутке, и запишите их в градусах:

1) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0$, $(0^\circ, 90^\circ)$;

2) $2\cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} = 0$, $(0^\circ, 90^\circ)$;

3) $\operatorname{tg}\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$, $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$;

4) $3\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$, $(-\pi; 0)$

1) Решим уравнение $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}=0$ на промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дается двумя сериями корней:

$a = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $a = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $3x-\frac{\pi}{4}$ и решим для $x$ в каждом случае.

Случай 1:

$3x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$

Случай 2:

$3x-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь необходимо найти те решения, которые лежат в заданном промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$, что в радианах соответствует $(0, \frac{\pi}{2})$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Это $30^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, что не входит в интервал.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Это $60^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi = 180^\circ$, что не входит в интервал.

Другие целые значения $k$ также дадут корни вне указанного промежутка.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ$.

2) Решим уравнение $2\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0$ на промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$.

Выразим косинус из уравнения:

$2\cos\frac{x}{2} = \sqrt{3}$

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$a = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi k$

Найдем решения, лежащие в промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$, то есть $(0, \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Это $60^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При других целых $k$ решения будут выходить за пределы интервала.

Рассмотрим серию $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3} = -60^\circ$, что не входит в интервал.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} = 660^\circ$, что также не входит в интервал.

Таким образом, есть только одно решение.

Ответ: $60^\circ$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1$ на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Общее решение для уравнения $\text{tg}(a) = 1$ имеет вид:

$a = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $2x+\frac{\pi}{3}$:

$2x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{3\pi-4\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$

Найдем решения, удовлетворяющие неравенству $0 \le x < \frac{\pi}{2}$:

$0 \le -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{2}$

Добавим $\frac{\pi}{24}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{24} \le \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{24} = \frac{12\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$

Разделим все части на $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{1}{12} \le k < \frac{13}{12}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=1$.

Подставим $k=1$ в формулу для $x$:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{-\pi + 12\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}$

Переведем это значение в градусы:

$x = \frac{11 \cdot 180^\circ}{24} = \frac{11 \cdot 15^\circ}{2} = 82.5^\circ$.

Ответ: $82.5^\circ$.

4) Решим уравнение $3\text{ctg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$ на промежутке $(-\pi, 0)$.

Выразим котангенс из уравнения:

$\text{ctg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(a) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет вид:

$a = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}$:

$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi+\pi}{6} + \pi k = \frac{3\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = \pi + 2\pi k$

Теперь найдем решения, лежащие в промежутке $(-\pi, 0)$:

$-\pi < \pi + 2\pi k < 0$

Вычтем $\pi$ из всех частей двойного неравенства:

$-\pi - \pi < 2\pi k < 0 - \pi$

$-2\pi < 2\pi k < -\pi$

Разделим все части на $2\pi$:

$-1 < k < -0.5$

В интервале $(-1, -0.5)$ нет целых чисел. Следовательно, целых значений $k$, удовлетворяющих этому условию, не существует.

Ответ: решений нет.