Страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. 1) $2 \sin x + 3 \cos x = 0;$

2) $\sin^2 2x = \frac{1}{4};$

3) $\sin^2 3x = \cos^2 3x;$

4) $\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1.$

1) Дано однородное тригонометрическое уравнение первой степени $2\sin x + 3\cos x = 0$.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $2(\pm 1) + 3(0) = \pm 2 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$2\tan x + 3 = 0$
$2\tan x = -3$
$\tan x = -\frac{3}{2}$
Отсюда находим $x$:
$x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:
$x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^2 2x = \frac{1}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos(4x) = \frac{1}{2}$
$\cos(4x) = 1 - \frac{1}{2}$
$\cos(4x) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$4x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4}$
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin^2 3x = \cos^2 3x$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$\cos^2 3x - \sin^2 3x = 0$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В данном случае $\alpha = 3x$.
$\cos(2 \cdot 3x) = 0$
$\cos(6x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\cos t = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1$.
Чтобы привести уравнение к одному аргументу, используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Положим $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$, и формула примет вид $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\sin \frac{x}{2} + (1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}) = 1$
$\sin \frac{x}{2} - 2\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - 1$
$\sin \frac{x}{2} - 2\sin^2 \frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\sin \frac{x}{2}$ за скобки:
$\sin \frac{x}{2} (1 - 2\sin \frac{x}{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\sin \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - 2\sin \frac{x}{2} = 0$
$2\sin \frac{x}{2} = 1$
$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3.9. 1) $2\cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$;

2) $2\sin^2 2x = 3 \cos 2x$;

3) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$;

4) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$.

1) Решим уравнение $2 \cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$.
Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Применим эту формулу для $\cos x$, представив его как $\cos(2 \cdot \frac{x}{2})$. Получим: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2 \cos \frac{x}{2} = 1 + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1)$
$2 \cos \frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{2}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$2\cos^2\frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2 \cos \frac{x}{2}$ за скобки:
$2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) $\cos \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Объединяя оба случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2 \sin^2 2x = 3 \cos 2x$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
Подставим это в уравнение:
$2(1 - \cos^2 2x) = 3 \cos 2x$
$2 - 2\cos^2 2x = 3 \cos 2x$
$2\cos^2 2x + 3 \cos 2x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 2x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$2t^2 + 3t - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной с корнем $t_1 = \frac{1}{2}$:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} \sin 3x = 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases}$
Можно решать систему, найдя корни первого уравнения и исключив те, что не удовлетворяют второму условию. Однако, более рационально использовать формулу синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Подставим ее в уравнение:
$\frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} = 0$
Вынесем $\sin x$ в числителе за скобки:
$\frac{\sin x (3 - 4\sin^2 x)}{\sin x} = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $\sin x \ne 0$. При этом условии мы можем сократить дробь на $\sin x$:
$3 - 4\sin^2 x = 0$
$4\sin^2 x = 3$
$\sin^2 x = \frac{3}{4}$
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
Полученные значения для $\sin x$ отличны от нуля, значит, они удовлетворяют ОДЗ.
Решим два простых уравнения:
а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Все эти серии решений можно объединить в две: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Или в одну компактную форму: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получаем систему:
$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos 3x \ne 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $\cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения второму условию системы, то есть $\cos 3x \ne 0$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ в выражение $\cos 3x$:
$\cos(3x) = \cos(3(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$.
Так как период косинуса $2\pi$, то $\cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \pi k)$.
Используя формулы приведения, $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$. Тогда $\cos(\frac{3\pi}{2} + \pi k) = \sin(\pi k) = 0$ для любого целого $k$.
Альтернативный способ проверки: используем формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Из этой формулы видно, что если $\cos x = 0$, то и $\cos 3x = 4(0)^3 - 3(0) = 0$.
Таким образом, все значения $x$, которые обращают числитель в ноль, также обращают в ноль и знаменатель. Это означает, что область допустимых значений уравнения не содержит ни одного из корней числителя.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

3.10. 1) $2\sin^2 x + \sin x = 1$;

2) $\operatorname{tg}^3 x + 2\operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg}x = 0$;

3) $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$;

4) $\cos^2 x = \sin x - 1$.

1)Дано уравнение $2\sin^2 x + \sin x = 1$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса от -1 до 1, то $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид:
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.
Получаем два корня для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Оба значения $t_1 = 1/2$ и $t_2 = -1$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Общее решение для этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, что дает $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\sin x = -1$.
Это частный случай, решение которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

2)Дано уравнение $\text{tg}^3 x + 2\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$.
Вынесем общий множитель $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\text{tg} x = 0$.
Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x + 3 = 0$.
Сделаем замену $y = \text{tg} x$. Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + 2y + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, во втором случае решений нет.
Единственным решением исходного уравнения являются корни из первого случая.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3)Дано уравнение $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$.
Для упрощения уравнения воспользуемся формулой косинуса четверного угла, выразив его через синус и косинус одинарного угла:
$\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(2\sin x \cos x)^2 = 1 - 8\sin^2 x \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$4\sin^4 x + (1 - 8\sin^2 x \cos^2 x) = 1 + 12\cos^4 x$.
Вычтем 1 из обеих частей и перенесем все члены в левую часть:
$4\sin^4 x - 8\sin^2 x \cos^2 x - 12\cos^4 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1)^2 - 0 - 0 = 4 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^4 x$:
$\frac{4\sin^4 x}{\cos^4 x} - \frac{8\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^4 x} - \frac{12\cos^4 x}{\cos^4 x} = 0$.
$4\text{tg}^4 x - 8\text{tg}^2 x - 12 = 0$.
Разделим уравнение на 4:
$\text{tg}^4 x - 2\text{tg}^2 x - 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $\text{tg} x$. Сделаем замену $y = \text{tg}^2 x$, при этом $y \ge 0$.
$y^2 - 2y - 3 = 0$.
Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $(y-3)(y+1)=0$.
$y_1 = 3$; $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене с $y_1 = 3$:
$\text{tg}^2 x = 3$, что равносильно $\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$.
1. $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну запись: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

4)Дано уравнение $\cos^2 x = \sin x - 1$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 - \sin^2 x = \sin x - 1$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = \sin^2 x + \sin x - 2$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 + t - 2 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко найти по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -2$.
Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$, и является посторонним.
Выполним обратную замену для подходящего корня:
$\sin x = 1$.
Это частный случай, решением которого является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

3.11. $\sqrt{\frac{1}{16} + \cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x} + \sqrt{\frac{9}{16} + \cos^4 x - \frac{3}{2}\cos^2 x} = \frac{1}{2}$

Преобразуем выражения под знаками корня, выделив в них полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые.

Первое подкоренное выражение: $\frac{1}{16} + \cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x = (\cos^2 x)^2 - 2 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = \left(\cos^2 x - \frac{1}{4}\right)^2$.

Второе подкоренное выражение: $\frac{9}{16} + \cos^4 x - \frac{3}{2}\cos^2 x = (\cos^2 x)^2 - 2 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 = \left(\cos^2 x - \frac{3}{4}\right)^2$.

Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получаем: $\sqrt{\left(\cos^2 x - \frac{1}{4}\right)^2} + \sqrt{\left(\cos^2 x - \frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид: $\left|\cos^2 x - \frac{1}{4}\right| + \left|\cos^2 x - \frac{3}{4}\right| = \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $y = \cos^2 x$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le \cos^2 x \le 1$, следовательно, область значений для $y$ — это отрезок $[0, 1]$. Уравнение с новой переменной выглядит так: $|y - \frac{1}{4}| + |y - \frac{3}{4}| = \frac{1}{2}$.

Это уравнение можно интерпретировать геометрически: сумма расстояний от точки $y$ на числовой прямой до точек $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ равна $\frac{1}{2}$. Расстояние между самими точками $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $y$ находится на отрезке, соединяющем точки $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.

Следовательно, решением для $y$ является двойное неравенство: $\frac{1}{4} \le y \le \frac{3}{4}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $y = \cos^2 x$: $\frac{1}{4} \le \cos^2 x \le \frac{3}{4}$.

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Подставляя, получаем: $\frac{1}{4} \le \frac{1 + \cos(2x)}{2} \le \frac{3}{4}$.

Последовательно преобразуем неравенство. Умножим все его части на 2: $\frac{1}{2} \le 1 + \cos(2x) \le \frac{3}{2}$. Затем вычтем 1 из всех частей: $-\frac{1}{2} \le \cos(2x) \le \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства для аргумента $2x$ является объединение интервалов, которые можно записать в общем виде: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наконец, разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$.

В упражнениях 3.12–3.14 решите уравнения методом сведения их к однородным уравнениям.

3. 12.

1) $2 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 4$;

2) $\sin 2x - 3 \cos^2 x = 4$;

3) $\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5$;

4) $4 \cos^2 \frac{x}{2} + 0,5 \sin x + 3 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$.

1) $2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 4$

Чтобы свести уравнение к однородному, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Заменим число 4 в правой части на выражение $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$2\sin x \cos x + 5\cos^2 x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$-4\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, не являются ли решениями значения $x$, для которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $4(1) - 0 - 0 = 0$, то есть $4=0$, что является ложным равенством. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$4\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$

Введем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение $4t^2 - 2t - 1 = 0$.

Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Вернемся к замене:

$\tan x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ или $\tan x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Тогда решения уравнения:

$x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x - 3\cos^2 x = 4$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 4$

Сведем уравнение к однородному, заменив $4$ на $4(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$

Перенесем все члены в правую часть:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1) - 0 + 0 = 0$, то есть $4=0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части на $\cos^2 x$:

$4\tan^2 x - 2\tan x + 7 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение $4t^2 - 2t + 7 = 0$.

Найдем его дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 4 - 112 = -108$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5$

Приведем уравнение к однородному. Для этого представим правую часть $0,5$ как $0,5 \cdot 1^2 = 0,5(\sin^2 x + \cos^2 x)^2$.

$\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5(\sin^2 x + \cos^2 x)^2$

$\sin^4 x - \cos^4 x = 0,5(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$

Умножим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:

$2\sin^4 x - 2\cos^4 x - (\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 0$

$\sin^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x - 3\cos^4 x = 0$

Это однородное уравнение четвертой степени. Если $\cos x = 0$, то $\sin^4 x = 1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Значит $\cos x \neq 0$.

Разделим уравнение на $\cos^4 x$:

$\tan^4 x - 2\tan^2 x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan^2 x$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Таким образом, $\tan^2 x = 3$, откуда $\tan x = \pm\sqrt{3}$.

Если $\tan x = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\tan x = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\cos^2 \frac{x}{2} + 0,5\sin x + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$:

$4\cos^2 \frac{x}{2} + 0,5\left(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right) + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

$4\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Сведем к однородному уравнению, заменив $3$ на $3\left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right)$:

$4\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3\sin^2 \frac{x}{2} = 3\sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$\left(4\cos^2 \frac{x}{2} - 3\cos^2 \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \left(3\sin^2 \frac{x}{2} - 3\sin^2 \frac{x}{2}\right) = 0$

$\cos^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$\cos \frac{x}{2} \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 0$

Это однородное уравнение первого порядка. Разделим его на $\cos \frac{x}{2}$ (как мы выясняли ранее, $\cos \frac{x}{2}$ не может быть равен нулю в данном случае, так как это повлекло бы за собой и $\sin \frac{x}{2} = 0$, что невозможно).

$1 + \tan \frac{x}{2} = 0$

$\tan \frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3.13. 1) $3 \cos^3 x - 7 \cos^2 x \sin x + 4 \sin^3 x = 0$

2) $\sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x - \frac{1}{2}$

3) $\cos^6 x + \sin^6 x - \cos^2 2x = \frac{1}{16}$

4) $\sin^4 x + \cos^4 x = \cos^2 2x$

1) Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Сначала проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, и $ \sin x = \pm 1 $. Подстановка в уравнение дает: $ 3 \cdot 0^3 - 7 \cdot 0^2 \cdot \sin x + 4 \sin^3 x = 0 $, что упрощается до $ 4 \sin^3 x = 0 $, откуда $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно, значит, $ \cos x \neq 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos^3 x $:
$ \frac{3\cos^3 x}{\cos^3 x} - \frac{7\cos^2 x \sin x}{\cos^3 x} + \frac{4\sin^3 x}{\cos^3 x} = 0 $
$ 3 - 7 \frac{\sin x}{\cos x} + 4 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^3 = 0 $
Используя замену $ \tan x = t $, получаем кубическое уравнение:
$ 4t^3 - 7t + 3 = 0 $
Найдем корни этого уравнения. Можно заметить, что $ t=1 $ является корнем, так как $ 4(1)^3 - 7(1) + 3 = 4 - 7 + 3 = 0 $.
Разделим многочлен $ 4t^3 - 7t + 3 $ на $ (t-1) $ (например, по схеме Горнера или столбиком), чтобы найти остальные корни.
$ (t-1)(4t^2 + 4t - 3) = 0 $
Теперь решим квадратное уравнение $ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $.
$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $.
$ t_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8} $.
$ t_2 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.
$ t_3 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $.
Мы получили три значения для $ t $. Вернемся к замене $ \tan x = t $:
1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
3. $ \tan x = -\frac{3}{2} \implies x = \arctan\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi = -\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + k\pi; \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi; -\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

2) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов:
$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $
Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $, то $ \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x $.
Уравнение принимает вид:
$ -\cos 2x = \sin 2x - \frac{1}{2} $
$ \sin 2x + \cos 2x = \frac{1}{2} $
Это уравнение вида $ a \sin y + b \cos y = c $. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $:
$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \frac{1}{2} $
Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sqrt{2}\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $
$ \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $
$ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} $
Решение этого уравнения:
$ 2x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + n\pi, n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + n\pi $
$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right), n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right), n \in \mathbb{Z} $.

3) Преобразуем выражение $ \cos^6 x + \sin^6 x $.
$ \cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 + (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) $
$ = 1 \cdot ((\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x $.
Тогда $ \cos^6 x + \sin^6 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
Заменим $ \sin^2 2x $ на $ 1 - \cos^2 2x $:
$ 1 - \frac{3}{4}(1 - \cos^2 2x) - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
$ 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\cos^2 2x - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos^2 2x = \frac{1}{16} $
Умножим обе части на 16:
$ 4 - 4\cos^2 2x = 1 $
$ 4\cos^2 2x = 3 $
$ \cos^2 2x = \frac{3}{4} $
Отсюда $ \cos 2x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решения для $ \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ это $ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi $.
Решения для $ \cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ это $ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $.
Эти две серии решений можно объединить в одну: $ 2x = k\pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in \mathbb{Z} $.
Разделив на 2, получаем окончательный ответ:
$ x = \frac{k\pi}{2} \pm \frac{\pi}{12}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2} \pm \frac{\pi}{12}, k \in \mathbb{Z} $.

4) Преобразуем левую часть уравнения. Как известно, $ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $.
Используя формулу синуса двойного угла, $ 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x $.
Таким образом, $ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \cos^2 2x $
Перенесем все тригонометрические члены в одну сторону:
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2}\sin^2 2x $
Используем тождество $ \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x $:
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2}(1 - \cos^2 2x) $
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos^2 2x $
$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos^2 2x $
$ \cos^2 2x = 1 $
Это означает, что $ \cos 2x = 1 $ или $ \cos 2x = -1 $.
1. $ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти две серии решений, получаем все значения $ x $, кратные $ \frac{\pi}{2} $.
$ x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

3.14. 1) $2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x - \sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0;$

2) $2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0.$

1) $2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x - \sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Для его решения применим метод группировки слагаемых:
$(2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x) - (\sin x \cos^2 x + \cos^3 x) = 0$
$2\sin^2 x (\sin x + \cos x) - \cos^2 x (\sin x + \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:
$(\sin x + \cos x)(2\sin^2 x - \cos^2 x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

а) $\sin x + \cos x = 0$
Заметим, что в этом уравнении $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 x - \cos^2 x = 0$
Аналогично, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1 = 0$
$2\tan^2 x = 1$
$\tan^2 x = \frac{1}{2}$
$\tan x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \arctan\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$, что также можно записать как $x = -\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Сгруппируем слагаемые:
$(2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x) + (2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x) = 0$
$\sin^2 x (2\sin x - \cos x) + \cos^2 x (2\sin x - \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(2\sin x - \cos x)$ за скобки:
$(2\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:
$(2\sin x - \cos x) \cdot 1 = 0$
$2\sin x - \cos x = 0$
$2\sin x = \cos x$
Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения $2\sin x = \cos x$ следует, что $2\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно быть равными нулю. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на него:
$2\frac{\sin x}{\cos x} = 1$
$2\tan x = 1$
$\tan x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3.15. Решите уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a(\sin^4 x + \cos^4 x)$ при всех действительных значениях параметра $a$.

В упражнениях 3.16, 3.17 решите уравнения методом введения дополнительных углов.

Для решения данного уравнения с параметром $a$ преобразуем его левую и правую части, выразив их через одну тригонометрическую функцию.

Сначала преобразуем выражение $sin^4 x + cos^4 x$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$.

$sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x)^2 + (cos^2 x)^2 = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x = 1^2 - 2sin^2 x cos^2 x.$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, получим $sin^2 x cos^2 x = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.

Таким образом, $sin^4 x + cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, $sin^6 x + cos^6 x$, используя формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$, где $A = sin^2 x$ и $B = cos^2 x$.

$sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x)^3 + (cos^2 x)^3 = (sin^2 x + cos^2 x)(sin^4 x - sin^2 x cos^2 x + cos^4 x).$

Поскольку $sin^2 x + cos^2 x = 1$ и мы уже нашли выражение для $sin^4 x + cos^4 x$, подставим их:

$sin^6 x + cos^6 x = 1 \cdot ((sin^4 x + cos^4 x) - sin^2 x cos^2 x) = (1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)) - \frac{1}{4}sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}sin^2(2x).$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$1 - \frac{3}{4}sin^2(2x) = a \left(1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)\right).$

Для удобства введем замену $y = sin^2(2x)$. Учитывая свойства функции синус, $0 \le sin(2x) \le 1$ и $-1 \le sin(2x) \le 1$, для $y = sin^2(2x)$ справедливо неравенство $0 \le y \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$1 - \frac{3}{4}y = a(1 - \frac{1}{2}y).$

Выразим $y$ через $a$:

$1 - \frac{3}{4}y = a - \frac{a}{2}y$

$y(\frac{a}{2} - \frac{3}{4}) = a - 1$

$y\left(\frac{2a - 3}{4}\right) = a - 1$

$y(2a - 3) = 4(a - 1).$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$.

Уравнение принимает вид $y \cdot 0 = 4(\frac{3}{2} - 1) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Получаем $0 = 2$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = \frac{3}{2}$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: $2a - 3 \ne 0$, то есть $a \ne \frac{3}{2}$.

В этом случае $y = \frac{4(a - 1)}{2a - 3}$.

Для существования решений $x$ необходимо, чтобы значение $y$ удовлетворяло условию $0 \le y \le 1$.

$0 \le \frac{4(a - 1)}{2a - 3} \le 1.$

Эта двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1) $\frac{4(a - 1)}{2a - 3} \ge 0 \implies \frac{a - 1}{2a - 3} \ge 0$.

2) $\frac{4(a - 1)}{2a - 3} \le 1$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=1$ и $a=3/2$. Расставляя знаки на числовой оси, получаем решение $a \in (-\infty, 1] \cup (3/2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{4(a - 1)}{2a - 3} - 1 \le 0 \implies \frac{4a - 4 - (2a - 3)}{2a - 3} \le 0 \implies \frac{2a - 1}{2a - 3} \le 0$.

Методом интервалов с нулями $a=1/2$ и $a=3/2$ получаем решение $a \in [1/2, 3/2)$.

Решением системы является пересечение найденных множеств: $( (-\infty, 1] \cup (3/2, +\infty) ) \cap [1/2, 3/2)$.

Пересечение этих множеств дает отрезок $a \in [1/2, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет решения только при $a \in [1/2, 1]$. При таких значениях $a$ мы решаем уравнение $sin^2(2x) = \frac{4(a - 1)}{2a - 3}$.

$sin(2x) = \pm\sqrt{\frac{4(a - 1)}{2a - 3}} = \pm 2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}$.

Отсюда находим $x$:

$2x = \pm \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \pi n$, где $n \in Z$.

$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ:

При $a \in [1/2, 1]$ решения уравнения существуют и равны $x = \pm \frac{1}{2} \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

В частности, при $a=1/2$ имеем $sin^2(2x)=1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$; при $a=1$ имеем $sin^2(2x)=0$, откуда $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

При $a \in (-\infty, 1/2) \cup (1, +\infty)$ уравнение не имеет решений.