Номер 3.8, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. 1) $2 \sin x + 3 \cos x = 0;$

2) $\sin^2 2x = \frac{1}{4};$

3) $\sin^2 3x = \cos^2 3x;$

4) $\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1.$

1) Дано однородное тригонометрическое уравнение первой степени $2\sin x + 3\cos x = 0$.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $2(\pm 1) + 3(0) = \pm 2 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$2\tan x + 3 = 0$
$2\tan x = -3$
$\tan x = -\frac{3}{2}$
Отсюда находим $x$:
$x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:
$x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^2 2x = \frac{1}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos(4x) = \frac{1}{2}$
$\cos(4x) = 1 - \frac{1}{2}$
$\cos(4x) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$4x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4}$
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin^2 3x = \cos^2 3x$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$\cos^2 3x - \sin^2 3x = 0$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В данном случае $\alpha = 3x$.
$\cos(2 \cdot 3x) = 0$
$\cos(6x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\cos t = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1$.
Чтобы привести уравнение к одному аргументу, используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Положим $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$, и формула примет вид $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\sin \frac{x}{2} + (1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}) = 1$
$\sin \frac{x}{2} - 2\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - 1$
$\sin \frac{x}{2} - 2\sin^2 \frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\sin \frac{x}{2}$ за скобки:
$\sin \frac{x}{2} (1 - 2\sin \frac{x}{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\sin \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - 2\sin \frac{x}{2} = 0$
$2\sin \frac{x}{2} = 1$
$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.