Номер 3.9, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.9. 1) $2\cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$;

2) $2\sin^2 2x = 3 \cos 2x$;

3) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$;

4) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$.

1) Решим уравнение $2 \cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$.
Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Применим эту формулу для $\cos x$, представив его как $\cos(2 \cdot \frac{x}{2})$. Получим: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2 \cos \frac{x}{2} = 1 + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1)$
$2 \cos \frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{2}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$2\cos^2\frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2 \cos \frac{x}{2}$ за скобки:
$2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) $\cos \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Объединяя оба случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2 \sin^2 2x = 3 \cos 2x$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
Подставим это в уравнение:
$2(1 - \cos^2 2x) = 3 \cos 2x$
$2 - 2\cos^2 2x = 3 \cos 2x$
$2\cos^2 2x + 3 \cos 2x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 2x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$2t^2 + 3t - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной с корнем $t_1 = \frac{1}{2}$:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} \sin 3x = 0 \\ \sin x \ne 0 \end{cases}$
Можно решать систему, найдя корни первого уравнения и исключив те, что не удовлетворяют второму условию. Однако, более рационально использовать формулу синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Подставим ее в уравнение:
$\frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} = 0$
Вынесем $\sin x$ в числителе за скобки:
$\frac{\sin x (3 - 4\sin^2 x)}{\sin x} = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $\sin x \ne 0$. При этом условии мы можем сократить дробь на $\sin x$:
$3 - 4\sin^2 x = 0$
$4\sin^2 x = 3$
$\sin^2 x = \frac{3}{4}$
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
Полученные значения для $\sin x$ отличны от нуля, значит, они удовлетворяют ОДЗ.
Решим два простых уравнения:
а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Все эти серии решений можно объединить в две: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Или в одну компактную форму: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получаем систему:
$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos 3x \ne 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $\cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения второму условию системы, то есть $\cos 3x \ne 0$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ в выражение $\cos 3x$:
$\cos(3x) = \cos(3(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$.
Так как период косинуса $2\pi$, то $\cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \pi k)$.
Используя формулы приведения, $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$. Тогда $\cos(\frac{3\pi}{2} + \pi k) = \sin(\pi k) = 0$ для любого целого $k$.
Альтернативный способ проверки: используем формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Из этой формулы видно, что если $\cos x = 0$, то и $\cos 3x = 4(0)^3 - 3(0) = 0$.
Таким образом, все значения $x$, которые обращают числитель в ноль, также обращают в ноль и знаменатель. Это означает, что область допустимых значений уравнения не содержит ни одного из корней числителя.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.