Номер 3.13, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. 1) $3 \cos^3 x - 7 \cos^2 x \sin x + 4 \sin^3 x = 0$

2) $\sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x - \frac{1}{2}$

3) $\cos^6 x + \sin^6 x - \cos^2 2x = \frac{1}{16}$

4) $\sin^4 x + \cos^4 x = \cos^2 2x$

1) Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Сначала проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, и $ \sin x = \pm 1 $. Подстановка в уравнение дает: $ 3 \cdot 0^3 - 7 \cdot 0^2 \cdot \sin x + 4 \sin^3 x = 0 $, что упрощается до $ 4 \sin^3 x = 0 $, откуда $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно, значит, $ \cos x \neq 0 $.
Разделим обе части уравнения на $ \cos^3 x $:
$ \frac{3\cos^3 x}{\cos^3 x} - \frac{7\cos^2 x \sin x}{\cos^3 x} + \frac{4\sin^3 x}{\cos^3 x} = 0 $
$ 3 - 7 \frac{\sin x}{\cos x} + 4 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^3 = 0 $
Используя замену $ \tan x = t $, получаем кубическое уравнение:
$ 4t^3 - 7t + 3 = 0 $
Найдем корни этого уравнения. Можно заметить, что $ t=1 $ является корнем, так как $ 4(1)^3 - 7(1) + 3 = 4 - 7 + 3 = 0 $.
Разделим многочлен $ 4t^3 - 7t + 3 $ на $ (t-1) $ (например, по схеме Горнера или столбиком), чтобы найти остальные корни.
$ (t-1)(4t^2 + 4t - 3) = 0 $
Теперь решим квадратное уравнение $ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $.
$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $.
$ t_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8} $.
$ t_2 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.
$ t_3 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $.
Мы получили три значения для $ t $. Вернемся к замене $ \tan x = t $:
1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
3. $ \tan x = -\frac{3}{2} \implies x = \arctan\left(-\frac{3}{2}\right) + k\pi = -\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + k\pi; \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi; -\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

2) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов:
$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $
Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $, то $ \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x $.
Уравнение принимает вид:
$ -\cos 2x = \sin 2x - \frac{1}{2} $
$ \sin 2x + \cos 2x = \frac{1}{2} $
Это уравнение вида $ a \sin y + b \cos y = c $. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $:
$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \frac{1}{2} $
Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sqrt{2}\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $
$ \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $
$ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} $
Решение этого уравнения:
$ 2x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + n\pi, n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + n\pi $
$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right), n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right), n \in \mathbb{Z} $.

3) Преобразуем выражение $ \cos^6 x + \sin^6 x $.
$ \cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 + (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) $
$ = 1 \cdot ((\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x $.
Тогда $ \cos^6 x + \sin^6 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
Заменим $ \sin^2 2x $ на $ 1 - \cos^2 2x $:
$ 1 - \frac{3}{4}(1 - \cos^2 2x) - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
$ 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\cos^2 2x - \cos^2 2x = \frac{1}{16} $
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos^2 2x = \frac{1}{16} $
Умножим обе части на 16:
$ 4 - 4\cos^2 2x = 1 $
$ 4\cos^2 2x = 3 $
$ \cos^2 2x = \frac{3}{4} $
Отсюда $ \cos 2x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решения для $ \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ это $ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi $.
Решения для $ \cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ это $ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $.
Эти две серии решений можно объединить в одну: $ 2x = k\pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in \mathbb{Z} $.
Разделив на 2, получаем окончательный ответ:
$ x = \frac{k\pi}{2} \pm \frac{\pi}{12}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2} \pm \frac{\pi}{12}, k \in \mathbb{Z} $.

4) Преобразуем левую часть уравнения. Как известно, $ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $.
Используя формулу синуса двойного угла, $ 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x $.
Таким образом, $ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \cos^2 2x $
Перенесем все тригонометрические члены в одну сторону:
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2}\sin^2 2x $
Используем тождество $ \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x $:
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2}(1 - \cos^2 2x) $
$ 1 = \cos^2 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos^2 2x $
$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos^2 2x $
$ \cos^2 2x = 1 $
Это означает, что $ \cos 2x = 1 $ или $ \cos 2x = -1 $.
1. $ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти две серии решений, получаем все значения $ x $, кратные $ \frac{\pi}{2} $.
$ x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $.