Номер 3.22, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. При каких значениях $b$ уравнение

$ \sin 2x + 2b\sqrt{2}(\sin x - \cos x) + 1 - 4b = 0 $ имеет решения?

Найдите эти решения.

Преобразуем исходное уравнение $\sin 2x + 2b\sqrt{2}(\sin x - \cos x) + 1 - 4b = 0$.

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x - \cos x$.

Чтобы выразить $\sin 2x$ через t, возведем выражение для t в квадрат: $t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем: $t^2 = 1 - \sin 2x$, откуда следует, что $\sin 2x = 1 - t^2$.

Теперь определим множество значений, которые может принимать переменная t. Преобразуем выражение для t, используя метод введения вспомогательного угла: $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

Применяя формулу синуса разности, имеем: $t = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Поскольку функция $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$, переменная t принимает значения из отрезка $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(1 - t^2) + 2b\sqrt{2} \cdot t + 1 - 4b = 0$.

После приведения подобных слагаемых, получим квадратное уравнение относительно t: $-t^2 + 2\sqrt{2}bt + 2 - 4b = 0$, $t^2 - 2\sqrt{2}bt + 4b - 2 = 0$.

Исходное тригонометрическое уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один корень t на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$: $D = (-2\sqrt{2}b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4b - 2) = 8b^2 - 16b + 8 = 8(b^2 - 2b + 1) = 8(b-1)^2$.

Поскольку $D = 8(b-1)^2 \ge 0$ для любого $b \in \mathbb{R}$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их: $t = \frac{2\sqrt{2}b \pm \sqrt{8(b-1)^2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}b \pm 2\sqrt{2}|b-1|}{2} = \sqrt{2}(b \pm |b-1|)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $b \ge 1$, то $|b-1| = b-1$. Корни: $t_1 = \sqrt{2}(b + (b-1)) = \sqrt{2}(2b-1)$ и $t_2 = \sqrt{2}(b - (b-1)) = \sqrt{2}$.
2) Если $b < 1$, то $|b-1| = 1-b$. Корни: $t_1 = \sqrt{2}(b + (1-b)) = \sqrt{2}$ и $t_2 = \sqrt{2}(b - (1-b)) = \sqrt{2}(2b-1)$.

В обоих случаях одним из корней является $t_1 = \sqrt{2}$. Этот корень принадлежит допустимому отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Это означает, что для любого действительного значения параметра b существует по крайней мере один подходящий корень для t. Следовательно, исходное уравнение имеет решения при всех $b \in \mathbb{R}$.

Теперь найдем сами решения. Они определяются из уравнения $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = t$, где t - найденные корни.

Для корня $t_1 = \sqrt{2}$, который существует при любом b, получаем: $\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$, $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта серия решений существует для любого значения b.

Для второго корня $t_2 = \sqrt{2}(2b-1)$ решения для x существуют только тогда, когда $t_2 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$: $-\sqrt{2} \le \sqrt{2}(2b-1) \le \sqrt{2}$, $-1 \le 2b-1 \le 1$, $0 \le 2b \le 2$, $0 \le b \le 1$.

Таким образом, при $b \in [0, 1]$ появляется дополнительная серия решений из уравнения: $\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}(2b-1)$, $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2b-1$.

Отсюда получаем два семейства решений: $x - \frac{\pi}{4} = \arcsin(2b-1) + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \arcsin(2b-1) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin(2b-1) + 2\pi m \implies x = \frac{5\pi}{4} - \arcsin(2b-1) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

Уравнение имеет решения при любых $b \in \mathbb{R}$.

Если $b \in [0, 1]$, то решениями являются серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \arcsin(2b-1) + 2\pi n$, $x = \frac{5\pi}{4} - \arcsin(2b-1) + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

Если $b < 0$ или $b > 1$, то решением является серия $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.