Номер 3.28, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Решите уравнение методом разложения на множители:

1) $ (\cos 2x - \cos 4x)^2 = 4 + \cos^2 3x $;

2) $ \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 3 $.

1) $(\cos 2x - \cos 4x)^2 = 4 + \cos^2 3x$

Перенесем $\cos^2 3x$ в левую часть уравнения:

$(\cos 2x - \cos 4x)^2 - \cos^2 3x = 4$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos 2x - \cos 4x = -2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = -2\sin(3x)\sin(-x) = 2\sin x \sin 3x$

Подставим это выражение в уравнение:

$(2\sin x \sin 3x)^2 - \cos^2 3x = 4$

$4\sin^2 x \sin^2 3x - \cos^2 3x = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$4\sin^2 x (1 - \cos^2 3x) - \cos^2 3x = 4$

Раскроем скобки:

$4\sin^2 x - 4\sin^2 x \cos^2 3x - \cos^2 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$(4\sin^2 x - 4) - (4\sin^2 x \cos^2 3x + \cos^2 3x) = 0$

$4(\sin^2 x - 1) - \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Так как $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$, получаем:

$-4\cos^2 x - \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Умножим обе части на -1:

$4\cos^2 x + \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Рассмотрим полученное уравнение. Первое слагаемое $4\cos^2 x \ge 0$. Второе слагаемое является произведением двух неотрицательных множителей: $\cos^2 3x \ge 0$ и $4\sin^2 x + 1 \ge 1$ (так как $\sin^2 x \ge 0$). Следовательно, второе слагаемое также неотрицательно.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} 4\cos^2 x = 0 \\ \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1$. Подставим это значение во второе уравнение системы:

$\cos^2 3x (4 \cdot 1 + 1) = 0$

$5\cos^2 3x = 0$

$\cos 3x = 0$

Проверим, выполняется ли условие $\cos 3x = 0$ для найденных значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

$3x = 3(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$

$\cos(3x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = 0$ для любого целого $k$.

Таким образом, решения уравнения $\cos x = 0$ удовлетворяют всей системе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 3$

Для любого действительного числа $t$ значение функции синус не превышает 1, то есть $\sin t \le 1$.

Таким образом, для левой части уравнения справедлива оценка:

$\sin 2x \le 1$

$\sin 3x \le 1$

$\sin 4x \le 1$

Сумма этих трех выражений будет равна 3 только в том случае, когда каждое из слагаемых равно 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = 1 \\ \sin 3x = 1 \\ \sin 4x = 1 \end{cases}$

Решим первые два уравнения системы. Из первого уравнения $\sin 2x = 1$ получаем:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Из второго уравнения $\sin 3x = 1$ получаем:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Чтобы система имела решение, необходимо найти такие целые числа $k$ и $n$, при которых значения $x$ совпадают:

$\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{1}{4} + k = \frac{1}{6} + \frac{2n}{3}$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot \frac{1}{4} + 12k = 12 \cdot \frac{1}{6} + 12 \cdot \frac{2n}{3}$

$3 + 12k = 2 + 8n$

$12k - 8n = 2 - 3$

$12k - 8n = -1$

$4(3k - 2n) = -1$

В левой части уравнения стоит целое число, кратное 4, так как $k$ и $n$ — целые числа. В правой части стоит -1. Так как -1 не делится на 4, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Поскольку уже первые два уравнения системы не имеют общих решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.