Номер 3.32, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В заданиях 3.32–3.36 решите уравнения.

3. 32.

1) $2 \cos 2x = \sqrt{6} (\cos x - \sin x)$;

2) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2x$;

3) $\operatorname{tg} x + \sin 2x = \frac{1}{\cos x}$;

4) $2 \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x$.

1) $2\cos{2x} = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} $.

$2(\cos^2{x} - \sin^2{x}) = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Разложим левую часть как разность квадратов: $ \cos^2{x} - \sin^2{x} = (\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) $.

$2(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos{x} - \sin{x}) $ за скобки.

$(\cos{x} - \sin{x})(2(\cos{x} + \sin{x}) - \sqrt{6}) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos{x} - \sin{x} = 0 $

б) $ 2(\cos{x} + \sin{x}) - \sqrt{6} = 0 $

Решим уравнение (а):

$ \cos{x} = \sin{x} $. Если $ \cos{x} = 0 $, то и $ \sin{x} = 0 $, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части на $ \cos{x} \neq 0 $.

$ \text{tg}\,{x} = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение (б):

$ \cos{x} + \sin{x} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Используем метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{x} + \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Тогда $ x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Получаем две серии решений:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi+2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi-2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k; \ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $ \sin^3{x} + \cos^3{x} = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Используем формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ для левой части.

$ (\sin{x}+\cos{x})(\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}) = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Так как $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $ и $ \sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x} $, уравнение принимает вид:

$ (\sin{x}+\cos{x})(1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) $.

$ (\sin{x}+\cos{x})(1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) - (1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) = 0 $

$ (1 - \frac{1}{2}\sin{2x})(\sin{x}+\cos{x}-1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} = 0 $

б) $ \sin{x}+\cos{x}-1 = 0 $

Решим уравнение (а):

$ \sin{2x} = 2 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $ [-1, 1] $.

Решим уравнение (б):

$ \sin{x}+\cos{x} = 1 $

Используем метод вспомогательного угла.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}) = 1 $

$ \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{x}) = 1 $

$ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Получаем совокупность решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = 2\pi n; \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $ \text{tg}\,{x} + \sin{2x} = \frac{1}{\cos{x}} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos{x} \neq 0 $, откуда $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Заменим $ \text{tg}\,{x} $ на $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $ и $ \sin{2x} $ на $ 2\sin{x}\cos{x} $.

$ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} + 2\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{\cos{x}} $

Умножим обе части уравнения на $ \cos{x} $ (так как по ОДЗ $ \cos{x} \neq 0 $).

$ \sin{x} + 2\sin{x}\cos^2{x} = 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} $.

$ \sin{x} + 2\sin{x}(1-\sin^2{x}) = 1 $

$ \sin{x} + 2\sin{x} - 2\sin^3{x} = 1 $

$ 2\sin^3{x} - 3\sin{x} + 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin{x} $, где $ |t| \le 1 $.

$ 2t^3 - 3t + 1 = 0 $

Заметим, что $ t=1 $ является корнем уравнения: $ 2(1)^3 - 3(1) + 1 = 0 $.

Разделим многочлен $ 2t^3 - 3t + 1 $ на $ (t-1) $. Получим $ 2t^2+2t-1 $.

$ (t-1)(2t^2+2t-1) = 0 $

Отсюда $ t=1 $ или $ 2t^2+2t-1=0 $.

Если $ t=1 $, то $ \sin{x} = 1 $. Это соответствует $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $. Но эти значения не входят в ОДЗ ($ \cos{x}=0 $), поэтому $ t=1 $ - посторонний корень.

Решим квадратное уравнение $ 2t^2+2t-1=0 $:

$ D = 2^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12 $

$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} $

Получаем два значения для $ \sin{x} $:

а) $ \sin{x} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366 $. Это значение меньше -1, поэтому решений нет.

б) $ \sin{x} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $. Это значение находится в интервале $ [-1, 1] $, поэтому решения есть.

$ x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi n; \ x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $ 2\text{tg}\,{x} + \text{tg}\,{2x} = \text{tg}\,{4x} $

ОДЗ: $ \cos{x} \neq 0, \cos{2x} \neq 0, \cos{4x} \neq 0 $.

$ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n; \ x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}; \ x \neq \frac{\pi}{8}+\frac{\pi m}{4}, \ n,k,m \in \mathbb{Z} $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \text{tg}\,{4x} - \text{tg}\,{2x} = 2\text{tg}\,{x} $

Применим формулу разности тангенсов $ \text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.

$ \frac{\sin(4x-2x)}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\text{tg}\,{x} $

$ \frac{\sin{2x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

Используем формулу $ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $.

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

Возможны два случая:

а) $ \sin{x} = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Проверим ОДЗ: $ \cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0, \cos(2\pi k) = 1 \neq 0, \cos(4\pi k)=1 \neq 0 $. Эти корни подходят.

б) $ \sin{x} \neq 0 $. Можно разделить обе части на $ 2\sin{x} $.

$ \frac{\cos{x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = \frac{1}{\cos{x}} $

$ \cos^2{x} = \cos{4x}\cos{2x} $

Используем формулы $ \cos^2{x} = \frac{1+\cos{2x}}{2} $ и $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \frac{1+\cos{2x}}{2} = (2\cos^2{2x}-1)\cos{2x} $

Сделаем замену $ t = \cos{2x} $.

$ \frac{1+t}{2} = (2t^2-1)t $

$ 1+t = 4t^3 - 2t $

$ 4t^3 - 3t - 1 = 0 $

Заметим, что $ t=1 $ является корнем: $ 4(1)^3-3(1)-1=0 $.

Разделив многочлен на $ (t-1) $, получим $ 4t^2+4t+1 = (2t+1)^2 $.

$ (t-1)(2t+1)^2 = 0 $

Получаем два решения для $ t $:

1. $ t=1 \implies \cos{2x}=1 \implies 1-2\sin^2{x}=1 \implies \sin^2{x}=0 \implies \sin{x}=0 $. Это возвращает нас к случаю (а), $ x = \pi k $.

2. $ t = -\frac{1}{2} \implies \cos{2x} = -\frac{1}{2} $.

$ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ. Объединим все найденные серии решений: $ x = \pi k $ и $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m $.

Все эти решения можно записать одной формулой: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.