Номер 3.29, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. Покажите, что уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решения, если $a > 1$.

Для того чтобы доказать, что уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решения при $a > 1$, мы оценим максимальное значение выражения в левой части уравнения.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = \sin^4 x + \cos^6 x$.

Мы знаем, что для любого действительного числа $x$ значения $\sin x$ и $\cos x$ лежат в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, их квадраты, $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$, лежат в диапазоне от 0 до 1.

Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то при возведении этого числа в квадрат его значение не увеличится. То есть, $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 \le \sin^2 x$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $\sin^2 x = 0$ или $\sin^2 x = 1$.

Аналогично, поскольку $0 \le \cos^2 x \le 1$, то при возведении этого числа в куб его значение также не увеличится. То есть, $\cos^6 x = (\cos^2 x)^3 \le \cos^2 x$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $\cos^2 x = 0$ или $\cos^2 x = 1$.

Сложим полученные неравенства:

$\sin^4 x + \cos^6 x \le \sin^2 x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательную оценку для левой части уравнения:

$\sin^4 x + \cos^6 x \le 1$

Это неравенство показывает, что максимальное значение выражения $\sin^4 x + \cos^6 x$ равно 1. Это значение достигается, например, при $x=0$ (когда $\sin x = 0, \cos x = 1$) или при $x = \frac{\pi}{2}$ (когда $\sin x = 1, \cos x = 0$).

Таким образом, для любого действительного значения $x$ левая часть исходного уравнения не может быть больше 1. В то же время, по условию задачи, правая часть уравнения $a$ строго больше 1 ($a > 1$).

Следовательно, равенство $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ при $a > 1$ невозможно, так как левая часть всегда меньше или равна 1, а правая — строго больше 1.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку максимальное значение выражения $\sin^4 x + \cos^6 x$ равно 1, уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решений при $a > 1$.