Номер 3.38, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Найдите все решения уравнения $\cos^4 x - \cos 3x = 3 \cos x - \cos^3 x \cdot \cos 3x$, лежащие на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Исходное уравнение:

$\cos^4 x - \cos 3x = 3 \cos x - \cos^3 x \cdot \cos 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\cos^4 x - 3 \cos x + \cos^3 x \cdot \cos 3x - \cos 3x = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^4 x + \cos^3 x \cdot \cos 3x) - (3 \cos x + \cos 3x) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos^3 x$ из первой скобки:

$\cos^3 x (\cos x + \cos 3x) - (3 \cos x + \cos 3x) = 0$

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

Упростим выражения в скобках:

$\cos x + \cos 3x = \cos x + (4\cos^3 x - 3\cos x) = 4\cos^3 x - 2\cos x$.

$3 \cos x + \cos 3x = 3 \cos x + (4\cos^3 x - 3\cos x) = 4\cos^3 x$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\cos^3 x (4\cos^3 x - 2\cos x) - 4\cos^3 x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $\cos^3 x$:

$\cos^3 x (4\cos^3 x - 2\cos x - 4) = 0$

Вынесем множитель 2 из второй скобки:

$2\cos^3 x (2\cos^3 x - \cos x - 2) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $\cos^3 x = 0$

2) $2\cos^3 x - \cos x - 2 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) Из уравнения $\cos^3 x = 0$ следует $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos^3 x - \cos x - 2 = 0$. Сделаем замену $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то и значения $t$ должны принадлежать этому отрезку, то есть $t \in [-1, 1]$.

Получаем кубическое уравнение: $2t^3 - t - 2 = 0$.

Исследуем функцию $f(t) = 2t^3 - t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-1) = 2(-1)^3 - (-1) - 2 = -2 + 1 - 2 = -3$.

$f(1) = 2(1)^3 - 1 - 2 = 2 - 1 - 2 = -1$.

Найдем производную функции, чтобы найти точки экстремума:

$f'(t) = (2t^3 - t - 2)' = 6t^2 - 1$.

Приравняем производную к нулю: $6t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{6} \Rightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.

Обе критические точки $t_1 = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ и $t_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(\frac{1}{\sqrt{6}}) = 2(\frac{1}{\sqrt{6}})^3 - \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = \frac{2}{6\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = \frac{1}{3\sqrt{6}} - \frac{3}{3\sqrt{6}} - 2 = -\frac{2}{3\sqrt{6}} - 2 < 0$.

$f(-\frac{1}{\sqrt{6}}) = 2(-\frac{1}{\sqrt{6}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{6}}) - 2 = -\frac{2}{6\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} - 2 = -\frac{1}{3\sqrt{6}} + \frac{3}{3\sqrt{6}} - 2 = \frac{2}{3\sqrt{6}} - 2$.

Поскольку $\sqrt{6} > 1$, то $3\sqrt{6} > 3$, и $\frac{2}{3\sqrt{6}} < \frac{2}{3} < 1$. Следовательно, $\frac{2}{3\sqrt{6}} - 2 < 0$.

Так как значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$ и в точках экстремума внутри этого отрезка отрицательны, то функция $f(t)$ принимает только отрицательные значения на отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, уравнение $2t^3 - t - 2 = 0$ не имеет решений при $t \in [-1, 1]$.

Следовательно, единственными решениями исходного уравнения являются корни уравнения $\cos x = 0$.

Теперь найдем решения, лежащие на отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Для этого решим двойное неравенство для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

$\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le \frac{1}{2} + n \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:

$1 - \frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \le n \le 1$

Единственным целым числом $n$, удовлетворяющим этому неравенству, является $n = 1$.

При $n=1$ получаем решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$

Этот корень принадлежит заданному отрезку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$