Номер 3.43, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. 1) $\begin{cases} \sin x - \sin y = 0,5, \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y, \\ \cos^2 x = \sin x \sin y; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sin x \cdot \operatorname{ctg} y = \frac{\sqrt{6}}{2}, \\ \operatorname{tg} x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin x - \sin y = 0,5 \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Применим формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
$ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $
$ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

Система примет вид:$ \begin{cases} 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0,5 \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Заметим, что $ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \neq 0 $, иначе левые части обоих уравнений были бы равны нулю, что противоречит правым частям. Поэтому мы можем разделить первое уравнение на второе:
$ \frac{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $
$ \frac{\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \tan\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Отсюда находим:
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $ n $.

Случай 1: $ n $ - четное число, т.е. $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
В этом случае $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим это в первое уравнение преобразованной системы:
$ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = 0,5 $
$ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2} $
Отсюда $ \frac{x+y}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Получаем две системы для нахождения $ x $ и $ y $:
а) $ \begin{cases} \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} + 4\pi k \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 4\pi m \end{cases} $
Складывая и вычитая уравнения, находим:
$ 2x = \pi + 4\pi(k+m) \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(k+m) $
$ 2y = \frac{\pi}{3} + 4\pi(m-k) \implies y = \frac{\pi}{6} + 2\pi(m-k) $
б) $ \begin{cases} \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \frac{x+y}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} + 4\pi k \\ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi m \end{cases} $
Складывая и вычитая уравнения, находим:
$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi(k+m) \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(k+m) $
$ 2y = -\pi + 4\pi(m-k) \implies y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(m-k) $

Случай 2: $ n $ - нечетное число, т.е. $ n = 2k+1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $
В этом случае $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\frac{1}{2} $. Подставим это в первое уравнение преобразованной системы:
$ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0,5 $
$ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = -\frac{1}{2} $
Отсюда $ \frac{x+y}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Решение этих систем приводит к тем же двум семействам решений, что и в случае 1.

Ответ: $ ( \frac{\pi}{2} + 2\pi(k+m), \frac{\pi}{6} + 2\pi(m-k) ); ( -\frac{\pi}{6} + 2\pi(k+m), -\frac{\pi}{2} + 2\pi(m-k) ) $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4} \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $:
$ (1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = \frac{7}{4} $
$ 2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = \frac{7}{4} $
$ \cos^2 x + \cos^2 y = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} $

Пусть $ u = \cos x $ и $ v = \cos y $. Система примет вид:$ \begin{cases} u + v = 0,5 \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{4} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ v = 0,5 - u $ и подставим во второе:
$ u^2 + (0,5 - u)^2 = \frac{1}{4} $
$ u^2 + 0,25 - u + u^2 = 0,25 $
$ 2u^2 - u = 0 $
$ u(2u - 1) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $ u $: $ u=0 $ или $ u=0,5 $.
Если $ u = 0 $, то $ v = 0,5 - 0 = 0,5 $.
Если $ u = 0,5 $, то $ v = 0,5 - 0,5 = 0 $.

Таким образом, мы имеем две пары значений для $ (\cos x, \cos y) $: $ (0, 0,5) $ и $ (0,5, 0) $.
Случай 1: $ \cos x = 0 $ и $ \cos y = 0,5 $.
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Случай 2: $ \cos x = 0,5 $ и $ \cos y = 0 $.
$ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $ и $ (\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi k) $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y \\ \cos^2 x = \sin x \sin y \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$ \sin^2 x + \cos^2 x = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$ 1 = \cos(x-y) $

Из этого следует, что $ x-y = 2\pi n $ для некоторого целого числа $ n $.
Тогда $ y = x - 2\pi n $, и, следовательно, $ \cos y = \cos x $ и $ \sin y = \sin x $.

Подставим эти соотношения в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$ \sin^2 x = \cos x (\cos x) $
$ \sin^2 x = \cos^2 x $

Разделим обе части на $ \cos^2 x $ (можно проверить, что $ \cos x \neq 0 $, иначе $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение $ 1=0 $ неверно):
$ \tan^2 x = 1 $
$ \tan x = \pm 1 $

Решением этого уравнения является:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ y = x - 2\pi n $, то для каждого решения $ x $ соответствующее решение $ y $ отличается на целое число полных оборотов.
Таким образом, решение системы можно записать как:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad y = x - 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

Это также можно записать как $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $ и $ y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ k,m \in \mathbb{Z} $ и $ k \equiv m \pmod 4 $, так как $ x-y = \frac{\pi}{2}(k-m) $ должно быть кратно $ 2\pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin x \cdot \cot y = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \tan x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Перепишем систему, используя определения тангенса и котангенса, при условиях $ \sin y \neq 0, \cos x \neq 0 $:$ \begin{cases} \sin x \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\sqrt{6}}{2} \quad (1) \\ \frac{\sin x}{\cos x} \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это возможно, так как правые части не равны нулю.
$ \frac{\sin x \frac{\cos y}{\sin y}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos y} = \frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{3}/2} $
$ \frac{\cos x}{\sin y} = \sqrt{2} \implies \cos x = \sqrt{2} \sin y $

Возведем полученное соотношение в квадрат: $ \cos^2 x = 2\sin^2 y $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 y $.
Возведем в квадрат второе уравнение исходной системы: $ \tan^2 x \cos^2 y = \frac{3}{4} $.
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 y = \frac{3}{4} $
Подставим выражения для $ \sin^2 x $ и $ \cos^2 x $ через $ \sin^2 y $:
$ \frac{1-2\sin^2 y}{2\sin^2 y} (1-\sin^2 y) = \frac{3}{4} $

Пусть $ u = \sin^2 y $. Уравнение примет вид:
$ \frac{1-2u}{2u} (1-u) = \frac{3}{4} $
$ 2(1-2u)(1-u) = 3u $
$ 2(1 - 3u + 2u^2) = 3u $
$ 4u^2 - 6u + 2 = 3u $
$ 4u^2 - 9u + 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ u = \frac{9 \pm \sqrt{81-32}}{8} = \frac{9 \pm 7}{8} $.
$ u_1 = \frac{16}{8} = 2 $ (невозможно, т.к. $ \sin^2 y \le 1 $)
$ u_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Итак, $ \sin^2 y = \frac{1}{4} \implies \sin y = \pm\frac{1}{2} $.
Тогда $ \cos^2 x = 2 \sin^2 y = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.
Из соотношения $ \cos x = \sqrt{2} \sin y $ следует, что знаки $ \cos x $ и $ \sin y $ должны совпадать.
Проверим знаки, используя второе уравнение $ \tan x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Отсюда знаки $ \tan x $ и $ \cos y $ должны совпадать.

Рассмотрим все возможные комбинации:
1. $ \sin y = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Тогда $ \cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.$ \tan x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковый знак.
- Если $ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x > 0 $), то $ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.
- Если $ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x < 0 $), то $ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $.

2. $ \sin y = -\frac{1}{2}, \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $. Тогда $ \cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.$ \tan x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковый знак.
- Если $ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x < 0 $), то $ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.
- Если $ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x > 0 $), то $ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Ответ:
$ ( \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k ) $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.