Номер 3.48, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. 1) $\begin{cases} \text{tg } x \cdot \text{tg } z = 3, \\ \text{tg } y \cdot \text{tg } z = 6, \\ x + y + z = \pi; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} 2 \cos x = 3 \text{tg } y, \\ 2 \cos y = 3 \text{tg } z, \\ 2 \cos z = 3 \text{tg } x. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} z = 3, \\ \operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg} z = 6, \\ x + y + z = \pi \end{cases} $$

Прежде всего, заметим, что $\operatorname{tg} x, \operatorname{tg} y, \operatorname{tg} z$ должны быть определены, то есть $x, y, z \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для любого целого $k$. Также из первых двух уравнений следует, что $\operatorname{tg} x, \operatorname{tg} y, \operatorname{tg} z$ не равны нулю.

Разделим второе уравнение на первое: $$ \frac{\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg} z}{\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} z} = \frac{6}{3} $$ $$ \frac{\operatorname{tg} y}{\operatorname{tg} x} = 2 \implies \operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x $$

Из третьего уравнения $x + y + z = \pi$ следует, что $x+y = \pi - z$. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: $$ \operatorname{tg}(x+y) = \operatorname{tg}(\pi - z) $$ Используя формулу тангенса суммы и свойство тангенса $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$, получаем: $$ \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} = -\operatorname{tg} z $$

Подставим в это уравнение выражение $\operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x$: $$ \frac{\operatorname{tg} x + 2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x (2 \operatorname{tg} x)} = -\operatorname{tg} z $$ $$ \frac{3 \operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\operatorname{tg} z $$

Из первого уравнения системы выразим $\operatorname{tg} z = \frac{3}{\operatorname{tg} x}$ и подставим в полученное выше уравнение: $$ \frac{3 \operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\frac{3}{\operatorname{tg} x} $$ Разделим обе части на 3 (так как $\operatorname{tg} x \neq 0$): $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\frac{1}{\operatorname{tg} x} $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = -(1 - 2 \operatorname{tg}^2 x) $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = -1 + 2 \operatorname{tg}^2 x $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = 1 $$ Отсюда получаем два возможных значения для $\operatorname{tg} x$: $\operatorname{tg} x = 1$ и $\operatorname{tg} x = -1$.

Случай 1: $\operatorname{tg} x = 1$.

Тогда $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из соотношений $\operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x$ и $\operatorname{tg} z = 3/\operatorname{tg} x$ находим: $\operatorname{tg} y = 2(1) = 2 \implies y = \arctan(2) + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. $\operatorname{tg} z = 3/1 = 3 \implies z = \arctan(3) + m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Подставим эти решения в третье уравнение системы $x + y + z = \pi$: $$ (\frac{\pi}{4} + n\pi) + (\arctan(2) + k\pi) + (\arctan(3) + m\pi) = \pi $$ $$ \frac{\pi}{4} + \arctan(2) + \arctan(3) + (n+k+m)\pi = \pi $$ Вычислим сумму $\arctan(2) + \arctan(3)$. Пусть $\alpha = \arctan(2)$ и $\beta = \arctan(3)$. Тогда $\operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{2+3}{1-2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1$. Так как $\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$, то $\alpha+\beta \in (0, \pi)$. Единственный угол в этом интервале с тангенсом, равным -1, это $\frac{3\pi}{4}$. Значит, $\arctan(2) + \arctan(3) = \frac{3\pi}{4}$. $$ \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ \pi + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ (n+k+m)\pi = 0 \implies n+k+m=0 $$ Итак, первая серия решений: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, $y = \arctan(2) + k\pi$, $z = \arctan(3) + m\pi$ при условии $n+k+m=0$.

Случай 2: $\operatorname{tg} x = -1$.

Тогда $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ для $n \in \mathbb{Z}$. Находим $\operatorname{tg} y$ и $\operatorname{tg} z$: $\operatorname{tg} y = 2(-1) = -2 \implies y = \arctan(-2) + k\pi = -\arctan(2) + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. $\operatorname{tg} z = 3/(-1) = -3 \implies z = \arctan(-3) + m\pi = -\arctan(3) + m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Подставим в третье уравнение: $$ (-\frac{\pi}{4} + n\pi) + (-\arctan(2) + k\pi) + (-\arctan(3) + m\pi) = \pi $$ $$ -\frac{\pi}{4} - (\arctan(2) + \arctan(3)) + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ -\pi + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ (n+k+m)\pi = 2\pi \implies n+k+m=2 $$ Вторая серия решений: $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, $y = -\arctan(2) + k\pi$, $z = -\arctan(3) + m\pi$ при условии $n+k+m=2$.

Ответ: $( \frac{\pi}{4} + n\pi, \arctan(2) + k\pi, \arctan(3) + m\pi )$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$ и $n+k+m=0$;
$( -\frac{\pi}{4} + n\pi, -\arctan(2) + k\pi, -\arctan(3) + m\pi )$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$ и $n+k+m=2$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2 \cos x = 3 \operatorname{tg} y, \\ 2 \cos y = 3 \operatorname{tg} z, \\ 2 \cos z = 3 \operatorname{tg} x \end{cases} $$

Рассмотрим случай, когда $x=y=z$. Система сводится к одному уравнению: $$ 2 \cos x = 3 \operatorname{tg} x $$ Перепишем его, используя $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (предполагая, что $\cos x \neq 0$): $$ 2 \cos^2 x = 3 \sin x $$ Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ 2(1 - \sin^2 x) = 3 \sin x $$ $$ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 $$ Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его: $$ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} $$ Получаем два возможных значения: $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = -2$. Второе значение невозможно, так как $|\sin x| \le 1$. Следовательно, $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это дает две серии решений для $x$:
1) $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. При этом $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.
2) $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. При этом $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.

Таким образом, мы нашли две серии "симметричных" решений:
1. $x = y = z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
2. $x = y = z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь исследуем возможность существования несимметричных решений. Перемножим все три уравнения системы: $$ 8 \cos x \cos y \cos z = 27 \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \operatorname{tg} z = 27 \frac{\sin x \sin y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} $$ $$ 8 \cos^2 x \cos^2 y \cos^2 z = 27 \sin x \sin y \sin z $$ Левая часть неотрицательна, значит, и правая должна быть неотрицательной: $\sin x \sin y \sin z \ge 0$. Это возможно, если:

• все три синуса неотрицательны;
• один синус положителен, а два — отрицательны.

Если $\sin x > 0, \sin y > 0, \sin z > 0$, то $x,y,z \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$. Можно показать, что в этом случае возможно только решение $x=y=z$.

Рассмотрим случай, когда один синус положителен, а два — отрицательны. Например, $\sin x > 0, \sin y < 0, \sin z < 0$. Проанализируем знаки функций. Пусть $x \in (0, \pi/2)$, тогда $\cos x > 0$. Из первого уравнения $3\operatorname{tg} y = 2\cos x > 0$, значит $\operatorname{tg} y > 0$. Так как $\sin y < 0$, то и $\cos y$ должен быть отрицательным, т.е. $y$ находится в 3-й четверти. Если $\cos y < 0$, из второго уравнения $3\operatorname{tg} z = 2\cos y < 0$, значит $\operatorname{tg} z < 0$. Так как $\sin z < 0$, то $\cos z$ должен быть положительным, т.е. $z$ находится в 4-й четверти. Если $\cos z > 0$, из третьего уравнения $3\operatorname{tg} x = 2\cos z > 0$, значит $\operatorname{tg} x > 0$. Так как $\sin x > 0$, то $\cos x > 0$, что согласуется с нашим предположением.

Проверим, может ли это привести к решению. Возьмем $x$ из первой серии симметричных решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$. $2\cos x = 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} y = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg} y = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Учитывая, что $y$ в 3-й четверти, $y = \pi + \frac{\pi}{6} + 2m\pi = \frac{7\pi}{6} + 2m\pi$. $2\cos y = 2 \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} z = -\sqrt{3} \implies \operatorname{tg} z = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Учитывая, что $z$ в 4-й четверти, $z = 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$. $2\cos z = 2 \cos(\frac{11\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это соответствует $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

Так мы нашли циклические решения. Аналогично, взяв $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, мы найдем еще одну серию циклических решений.

Ответ: Система имеет четыре серии решений ($k, m, n \in \mathbb{Z}$):
1. $x = y = z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.
2. $x = y = z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
3. $(x,y,z) = (\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2m\pi, \frac{11\pi}{6} + 2n\pi)$ и все циклические перестановки.
4. $(x,y,z) = (\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2m\pi, \frac{7\pi}{6} + 2n\pi)$ и все циклические перестановки.