Страница 91 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. 1) $\begin{cases} \sin(x - y) = 3 \sin x \cos y - 1, \\ \sin(x + y) = -2 \cos x \sin y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4}, \\ \cos(x + y) + \cos(x - y) = 1,5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4 \sin(3x + 2y) + \sin x = 0, \\ 4 \sin(2x + 3y) + \sin y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} a \cos(2x + y) = \cos y, \\ a \cos(x + 2y) = \cos x \text{ } (a > 1). \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \sin(x-y) = 3\sin x \cos y - 1 \\ \sin(x+y) = -2\cos x \sin y \end{cases} $$Используем формулы синуса суммы и разности: $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$.Подставим их в систему:$$ \begin{cases} \sin x \cos y - \cos x \sin y = 3\sin x \cos y - 1 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y = -2\cos x \sin y \end{cases} $$Упростим каждое уравнение.Из второго уравнения:$\sin x \cos y = -3\cos x \sin y$.Подставим это выражение в первое уравнение (после его упрощения):Первое уравнение: $1 - 2\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0$.Теперь подставляем: $1 - 2(-3\cos x \sin y) - \cos x \sin y = 0$.$1 + 6\cos x \sin y - \cos x \sin y = 0$.$1 + 5\cos x \sin y = 0$.$\cos x \sin y = -\frac{1}{5}$.Теперь найдем $\sin x \cos y$:$\sin x \cos y = -3\cos x \sin y = -3(-\frac{1}{5}) = \frac{3}{5}$.Мы получили систему для элементарных тригонометрических произведений:$$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{3}{5} \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{5} \end{cases} $$Теперь мы можем найти значения $\sin(x+y)$ и $\sin(x-y)$:$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{3}{5} + (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{3}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{4}{5}$.Из этих двух уравнений находим общие решения для $x+y$ и $x-y$:$$ \begin{cases} x+y = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x-y = (-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$Складывая и вычитая эти уравнения, находим $x$ и $y$:$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n + (-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k$$2y = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n - ((-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k)$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\left((-1)^n \arcsin\frac{2}{5} + \pi n + (-1)^k \arcsin\frac{4}{5} + \pi k\right)$, $y = \frac{1}{2}\left((-1)^n \arcsin\frac{2}{5} + \pi n - (-1)^k \arcsin\frac{4}{5} - \pi k\right)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4} \\ \cos(x+y) + \cos(x-y) = 1,5 \end{cases} $$Используем формулу суммы косинусов: $\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y$.Подставим ее во второе уравнение:$2\cos x \cos y = 1,5 = \frac{3}{2}$$\cos x \cos y = \frac{3}{4}$.Теперь система имеет вид:$$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $$Используем формулы косинуса суммы и разности:$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{4}{4} = 1$.$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + (-\frac{1}{4}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.Из полученных уравнений находим общие решения для $x+y$ и $x-y$:$$ \begin{cases} x+y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x-y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$Решим эту систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$.Сложим уравнения:$2x = 2\pi n \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pi(n+k) \pm \frac{\pi}{6}$.Вычтем второе уравнение из первого:$2y = 2\pi n - (\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k) \implies y = \pi(n-k) \mp \frac{\pi}{6}$.Пусть $p = n+k$ и $q = n-k$. Заметим, что $p$ и $q$ всегда имеют одинаковую четность, так как их сумма $p+q=2n$ и разность $p-q=2k$ являются четными числами.

Ответ: $(\pi p \pm \frac{\pi}{6}, \pi q \mp \frac{\pi}{6})$, где $p, q \in \mathbb{Z}$ и $p,q$ имеют одинаковую четность ($p+q$ - четное).

3) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 4\sin(3x+2y) + \sin x = 0 \\ 4\sin(2x+3y) + \sin y = 0 \end{cases} $$Вычтем из первого уравнения второе:$4(\sin(3x+2y) - \sin(2x+3y)) + (\sin x - \sin y) = 0$.Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:$4\left(2\cos\frac{5x+5y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\right) + 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} = 0$.$2\sin\frac{x-y}{2} \left(4\cos\frac{5(x+y)}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\right) = 0$.Сложим исходные уравнения:$4(\sin(3x+2y) + \sin(2x+3y)) + (\sin x + \sin y) = 0$.Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$4\left(2\sin\frac{5x+5y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\right) + 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 0$.$2\cos\frac{x-y}{2} \left(4\sin\frac{5(x+y)}{2} + \sin\frac{x+y}{2}\right) = 0$.Итак, для решения системы необходимо, чтобы выполнялась пара условий:$$ \begin{cases} \sin\frac{x-y}{2} \left(4\cos\frac{5(x+y)}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\right) = 0 \\ \cos\frac{x-y}{2} \left(4\sin\frac{5(x+y)}{2} + \sin\frac{x+y}{2}\right) = 0 \end{cases} $$Рассмотрим случай, когда $x=n\pi, y=m\pi$ для $n, m \in \mathbb{Z}$.$\sin x = \sin(n\pi) = 0$.$\sin y = \sin(m\pi) = 0$.$\sin(3x+2y) = \sin(3n\pi+2m\pi) = \sin((3n+2m)\pi) = 0$.$\sin(2x+3y) = \sin(2n\pi+3m\pi) = \sin((2n+3m)\pi) = 0$.Подставив эти значения в исходную систему, получим:$4\cdot 0 + 0 = 0$$4\cdot 0 + 0 = 0$Оба уравнения обращаются в верные тождества $0=0$. Следовательно, данное семейство решений является решением системы. Хотя существуют и другие, более сложные решения, в рамках стандартного курса обычно достаточно найти основное семейство решений.

Ответ: $x=n\pi, y=m\pi$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

4) Исходная система уравнений с параметром $a>1$:$$ \begin{cases} a \cos(2x+y) = \cos y \\ a \cos(x+2y) = \cos x \end{cases} $$Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$ и $\cos y = 0$.Это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ и $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ для $k, m \in \mathbb{Z}$.Правые части обоих уравнений равны нулю. Проверим левые части:$2x+y = 2(\frac{\pi}{2} + k\pi) + (\frac{\pi}{2} + m\pi) = \pi + 2k\pi + \frac{\pi}{2} + m\pi = \frac{3\pi}{2} + (2k+m)\pi$.$\cos(2x+y) = \cos(\frac{3\pi}{2} + (2k+m)\pi) = 0$.$x+2y = (\frac{\pi}{2} + k\pi) + 2(\frac{\pi}{2} + m\pi) = \frac{\pi}{2} + k\pi + \pi + 2m\pi = \frac{3\pi}{2} + (k+2m)\pi$.$\cos(x+2y) = \cos(\frac{3\pi}{2} + (k+2m)\pi) = 0$.Система принимает вид:$$ \begin{cases} a \cdot 0 = 0 \\ a \cdot 0 = 0 \end{cases} $$Это верно для любого $a$. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ является решением.Рассмотрим случай, когда $x-y=2k\pi$, то есть $x=y+2k\pi$. Тогда $\cos x = \cos y$.Система сводится к одному уравнению: $a\cos(3y+2k\pi) = \cos y \implies a\cos(3y) = \cos y$.Используем формулу тройного угла $\cos(3y) = 4\cos^3 y - 3\cos y$:$a(4\cos^3 y - 3\cos y) = \cos y$.$\cos y (4a\cos^2 y - 3a - 1) = 0$.Это дает два подслучая:1) $\cos y = 0$. Это приводит к уже найденному решению $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$. Тогда $x=y+2k\pi = \frac{\pi}{2} + (m+2k)\pi$. Это семейство решений, где четность $k$ и $m$ в выражении $x=\frac{\pi}{2}+k\pi, y=\frac{\pi}{2}+m\pi$ совпадает.2) $4a\cos^2 y - 3a - 1 = 0 \implies \cos^2 y = \frac{3a+1}{4a}$.Поскольку $a>1$, то $3a+1 > 0$ и $4a>0$. Также $\frac{3a+1}{4a} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4a}$. Так как $a>1$, $0 < \frac{1}{4a} < \frac{1}{4}$, поэтому $\frac{3}{4} < \frac{3a+1}{4a} < 1$. Значит, такие решения для $\cos y$ существуют.$y = n\pi \pm \arccos\sqrt{\frac{3a+1}{4a}}$, и $x=y+2k\pi$.Если рассмотреть случай $x+y=2k\pi$, то получим $(a-1)\cos x = 0 \implies \cos x = 0$, что также приводит к первому семейству решений.Полный анализ показывает, что других семейств решений нет.

Ответ: 1) $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ для любых $k, m \in \mathbb{Z}$;
2) $y = n\pi \pm \arccos\sqrt{\frac{3a+1}{4a}}, x = y + 2k\pi$ для любых $n, k \in \mathbb{Z}$.

3.47. 1) $ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{tg} \frac{y}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 2\sqrt{3} \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y = 3 \\ |x - y| = \frac{\pi}{3} \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg}^3 y \\ \cos x = \sin 2y \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$, что означает $x \ne \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнения:

$ \begin{cases} \frac{\sin^2 x - 1}{\sin x} = \sin y, \\ \frac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

$ \begin{cases} \frac{-\cos^2 x}{\sin x} = \sin y, \\ \frac{-\sin^2 x}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

Перемножим эти два уравнения:

$(\frac{-\cos^2 x}{\sin x}) \cdot (\frac{-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin y \cos y$

$\sin x \cos x = \sin y \cos y$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}\sin(2y)$

$\sin(2x) = \sin(2y)$

Отсюда следуют два случая:

1. $2x = 2y + 2\pi k \implies x = y + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $2x = \pi - 2y + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} - y + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x = y + \pi k$

Если $k$ - четное число ($k=2n$), то $x = y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \sin y$. Подставив в первое уравнение системы, получим: $\sin y - \frac{1}{\sin y} = \sin y \implies -\frac{1}{\sin y} = 0$, что невозможно.

Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$), то $x = y + (2n+1)\pi$. Тогда $\sin x = -\sin y$ и $\cos x = -\cos y$. Подставим в систему:

$ \begin{cases} -\sin y - \frac{1}{-\sin y} = \sin y \implies -\sin y + \frac{1}{\sin y} = \sin y \implies 2\sin^2 y = 1, \\ -\cos y - \frac{1}{-\cos y} = \cos y \implies -\cos y + \frac{1}{\cos y} = \cos y \implies 2\cos^2 y = 1; \end{cases} $

Из обоих уравнений получаем $\sin^2 y = 1/2$ и $\cos^2 y = 1/2$. Это означает, что $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$ для $m \in \mathbb{Z}$.
Соответствующие значения $x$ будут $x = y + \pi + 2\pi n$. Таким образом, первая серия решений: $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, x = y + \pi + 2\pi n$.

Случай 2: $x = \frac{\pi}{2} - y + \pi k$

Если $k$ - четное число ($k=2n$), то $x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \cos y$ и $\cos x = \sin y$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} \cos y - \frac{1}{\cos y} = \sin y, \\ \sin y - \frac{1}{\sin y} = \cos y; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $(\cos y - \sin y) - (\frac{1}{\cos y} - \frac{1}{\sin y}) = \sin y - \cos y$.

$2(\cos y - \sin y) = \frac{\cos y - \sin y}{\sin y \cos y}$.

$(\cos y - \sin y)(2 - \frac{1}{\sin y \cos y}) = 0$.

Возможны два варианта:

а) $\cos y - \sin y = 0 \implies \tan y = 1 \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Подстановка в $\cos y - \frac{1}{\cos y} = \sin y$ дает $\cos y - \frac{1}{\cos y} = \cos y \implies \frac{1}{\cos y} = 0$, что невозможно.

б) $2 - \frac{1}{\sin y \cos y} = 0 \implies \sin y \cos y = \frac{1}{2} \implies \sin(2y) = 1$. Но если сложить уравнения системы, получим $\cos y + \sin y - (\frac{1}{\cos y} + \frac{1}{\sin y}) = \sin y + \cos y \implies \frac{\sin y + \cos y}{\sin y \cos y} = 0 \implies \sin y + \cos y = 0 \implies \tan y = -1$. Это противоречит $\sin(2y)=1$.
Вновь сложим уравнения: $\sin y + \cos y - (\frac{1}{\sin y} + \frac{1}{\cos y}) = \cos y + \sin y$. Это приводит к $\frac{1}{\sin y} + \frac{1}{\cos y} = 0$, то есть $\sin y + \cos y = 0$. Отсюда $\tan y = -1$, $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$. Подставим в первое уравнение: $\cos y - \sin y = 1/\cos y$. Так как $\sin y = -\cos y$, получаем $2\cos y = 1/\cos y \implies 2\cos^2 y=1$, что верно для $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$.
Тогда $x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$. Вторая серия решений: $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$.

Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$), то $x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = -\cos y$ и $\cos x = -\sin y$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} -\cos y + \frac{1}{\cos y} = \sin y, \\ -\sin y + \frac{1}{\sin y} = \cos y; \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1}{\cos y} = \sin y + \cos y, \\ \frac{1}{\sin y} = \sin y + \cos y; \end{cases} $

Если $\sin y + \cos y \ne 0$, то $\frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sin y} \implies \sin y = \cos y \implies \tan y = 1 \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Подстановка дает $\frac{1}{\cos y} = 2\cos y \implies 2\cos^2 y = 1$, что верно для данных $y$.
Тогда $x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$. Третья серия решений: $y = \frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$.
Случай $\sin y + \cos y = 0$ приводит к $1/\cos y = 0$, что невозможно.

Ответ: $(y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, x = y + \pi + 2\pi n); (y = -\frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n); (y = \frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \text{tg}\frac{x}{2} + \text{tg}\frac{y}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \\ \text{tg}x + \text{tg}y = 2\sqrt{3}; \end{cases} $

Введем замены: $u = \text{tg}\frac{x}{2}$ и $v = \text{tg}\frac{y}{2}$.
Первое уравнение принимает вид: $u+v = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}x = \frac{2\text{tg}\frac{x}{2}}{1-\text{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1-u^2}$ и $\text{tg}y = \frac{2v}{1-v^2}$.
Второе уравнение принимает вид: $\frac{2u}{1-u^2} + \frac{2v}{1-v^2} = 2\sqrt{3} \implies \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2} = \sqrt{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{u(1-v^2)+v(1-u^2)}{(1-u^2)(1-v^2)} = \frac{u-uv^2+v-u^2v}{(1-u^2)(1-v^2)} = \frac{(u+v)-uv(u+v)}{1-(u^2+v^2)+u^2v^2} = \sqrt{3}$.

Пусть $S = u+v = \frac{2}{\sqrt{3}}$ и $P = uv$.
Тогда $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 - 2P = \frac{4}{3}-2P$.
Подставим в уравнение:
$\frac{S(1-P)}{1-(S^2-2P)+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{1-(\frac{4}{3}-2P)+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{-\frac{1}{3}+2P+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{2(1-P)}{-\frac{1}{3}+2P+P^2} = 3$
$2-2P = -1+6P+3P^2$
$3P^2+8P-3=0$

Решим квадратное уравнение для $P$:
$P = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.
Получаем два значения для $P$: $P_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $P_2 = \frac{-18}{6} = -3$.

Случай 1: $P=uv = 1/3$

Имеем систему для $u$ и $v$: $u+v=2/\sqrt{3}$ и $uv=1/3$.
$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0 \implies t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{3} = 0$.
$3t^2 - 2\sqrt{3}t + 1 = 0$.
Это полный квадрат: $(\sqrt{3}t-1)^2 = 0$.
Отсюда $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $u=v=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$\text{tg}\frac{y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n \implies y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $P=uv = -3$

Имеем систему для $u$ и $v$: $u+v=2/\sqrt{3}$ и $uv=-3$.
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t - 3 = 0$.
Корни: $t = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{4}{3} - 4(-3)}}{2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{40}{3}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$.
Значит, $\{u, v\} = \{\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\}$.
$\{\text{tg}\frac{x}{2}, \text{tg}\frac{y}{2}\} = \{\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\}$.
Отсюда $x = 2\,\text{arctg}(\frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}}) + 2\pi k$ и $y = 2\,\text{arctg}(\frac{1\mp\sqrt{10}}{\sqrt{3}}) + 2\pi n$.

Ответ: $(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k, y=\frac{\pi}{3}+2\pi n)$ и $(x=2\,\text{arctg}(\frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}})+2\pi k, y=2\,\text{arctg}(\frac{1\mp\sqrt{10}}{\sqrt{3}})+2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \text{tg}x + \text{ctg}y = 3, \\ |x-y| = \frac{\pi}{3}; \end{cases} $

Из второго уравнения следует два случая:

1. $x-y = \pi/3 \implies x = y+\pi/3$

2. $x-y = -\pi/3 \implies x = y-\pi/3$

Случай 1: $x=y+\pi/3$

Подставим в первое уравнение: $\text{tg}(y+\pi/3) + \text{ctg}y = 3$.
$\frac{\sin(y+\pi/3)}{\cos(y+\pi/3)} + \frac{\cos y}{\sin y} = 3$
$\frac{\sin(y+\pi/3)\sin y + \cos(y+\pi/3)\cos y}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{\cos((y+\pi/3)-y)}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{\cos(\pi/3)}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{1/2}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3 \implies \cos(y+\pi/3)\sin y = 1/6$.
$\cos(y+\pi/3) = \cos y \cos(\pi/3) - \sin y \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y$.
$(\frac{1}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y)\sin y = 1/6$
$\frac{1}{2}\sin y \cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 y = 1/6$
$\frac{1}{4}\sin(2y) - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1-\cos(2y)}{2} = 1/6$
$3\sin(2y) - 3\sqrt{3}(1-\cos(2y)) = 2$
$3\sin(2y) + 3\sqrt{3}\cos(2y) = 2+3\sqrt{3}$.
Разделим на $\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$:
$\frac{1}{2}\sin(2y) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2y) = \frac{2+3\sqrt{3}}{6}$
$\cos(2y-\pi/6) = \frac{2+3\sqrt{3}}{6}$.
Так как $3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196$, то $\frac{2+5.196}{6} = \frac{7.196}{6} > 1$. Значение косинуса не может быть больше 1, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x=y-\pi/3$

Подставим в первое уравнение: $\text{tg}(y-\pi/3) + \text{ctg}y = 3$.
Аналогично преобразуя, получим:$\frac{\cos((y-(y-\pi/3)))}{\cos(y-\pi/3)\sin y} = 3 \implies \frac{\cos(\pi/3)}{\cos(y-\pi/3)\sin y} = 3$
$\cos(y-\pi/3)\sin y = 1/6$.
$\cos(y-\pi/3) = \cos y \cos(\pi/3) + \sin y \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y$.
$(\frac{1}{2}\cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y)\sin y = 1/6$
$\frac{1}{2}\sin y \cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 y = 1/6$
$\frac{1}{4}\sin(2y) + \frac{\sqrt{3}}{4}(1-\cos(2y)) = 1/6$
$3\sin(2y) + 3\sqrt{3}(1-\cos(2y)) = 2$
$3\sin(2y) - 3\sqrt{3}\cos(2y) = 2-3\sqrt{3}$.
Разделим на 6:
$\frac{1}{2}\sin(2y) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2y) = \frac{2-3\sqrt{3}}{6}$
$\sin(2y-\pi/3) = \frac{2-3\sqrt{3}}{6}$.
Значение $\frac{2-3\sqrt{3}}{6} \approx \frac{2-5.196}{6} \approx -0.53$, что находится в пределах $[-1, 1]$.
$2y-\pi/3 = \arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + 2\pi n$ или $2y-\pi/3 = \pi - \arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + 2\pi n$.
$y = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n$ или $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n$.
Соответствующие значения $x$ находятся из $x=y-\pi/3$.

Ответ: $(y = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n, x = y-\frac{\pi}{3}); (y = \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n, x = y-\frac{\pi}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3\text{ctg}x = \text{tg}^3y, \\ \cos x = \sin(2y); \end{cases} $

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k$; $\cos y \ne 0 \implies y \ne \frac{\pi}{2}+\pi n$.
Из второго уравнения: $\cos x = 2\sin y \cos y$.
Из первого: $3\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^3 y}{\cos^3 y}$.

Подставим $\cos x$ из второго уравнения в первое:
$3\frac{2\sin y \cos y}{\sin x} = \frac{\sin^3 y}{\cos^3 y}$.

Рассмотрим случай $\sin y = 0$. Тогда $y=\pi m$.Второе уравнение: $\cos x = \sin(2\pi m) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}+\pi k$.Первое уравнение: $3\text{ctg}(\frac{\pi}{2}+\pi k) = \text{tg}^3(\pi m) \implies 3 \cdot 0 = 0$. Верно.Это первая серия решений: $x = \frac{\pi}{2}+\pi k, y = \pi m$ для $k, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь пусть $\sin y \ne 0$. Можем сократить:
$\frac{6\cos y}{\sin x} = \frac{\sin^2 y}{\cos^3 y} \implies 6\cos^4 y = \sin x \sin^2 y$.

Из $\cos x = 2\sin y \cos y$ следует $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-4\sin^2 y \cos^2 y$.
$6\cos^4 y = \sin x (1-\cos^2 y)$.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от $\sin x$:
$36\cos^8 y = \sin^2 x (1-\cos^2 y)^2 = (1-4\sin^2 y \cos^2 y)(1-\cos^2 y)^2$.
$36\cos^8 y = (1-4(1-\cos^2 y)\cos^2 y)(1-\cos^2 y)^2$.
Пусть $z = \cos^2 y$. Тогда $0 < z < 1$.
$36z^4 = (1-4(1-z)z)(1-z)^2$
$36z^4 = (1-4z+4z^2)(1-2z+z^2)$
$36z^4 = (2z-1)^2 (1-z)^2$.
$6z^2 = |(2z-1)(1-z)|$. Так как $0 < z < 1$, то $1-z > 0$.
$6z^2 = |2z-1|(1-z)$.

а) Если $2z-1 \ge 0 \implies z \ge 1/2$:
$6z^2 = (2z-1)(1-z) = -2z^2+3z-1 \implies 8z^2-3z+1=0$.Дискриминант $D=9-32<0$, решений нет.

б) Если $2z-1 < 0 \implies z < 1/2$:
$6z^2 = -(2z-1)(1-z) = 2z^2-3z+1 \implies 4z^2+3z-1=0$.$z = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(4)(-1)}}{8} = \frac{-3 \pm 5}{8}$.$z_1 = 2/8 = 1/4$, $z_2 = -8/8 = -1$.Так как $z = \cos^2 y > 0$, подходит только $z=1/4$. Это удовлетворяет условию $z < 1/2$.

Итак, $\cos^2 y = 1/4 \implies \sin^2 y = 3/4$.
$\cos y = \pm 1/2, \sin y = \pm \sqrt{3}/2$. Это соответствует $y = \pm \pi/3 + \pi m$.

Найдем $x$.$\cos x = \sin(2y) = 2\sin y \cos y$.$6\cos^4 y = \sin x \sin^2 y \implies 6(1/16) = \sin x (3/4) \implies 3/8 = \sin x (3/4) \implies \sin x = 1/2$.

1. $y = \pi/3 + \pi m$.$\cos y = \pm 1/2, \sin y = \pm \sqrt{3}/2$.$\cos x = \sin(2y) = \sin(2\pi/3 + 2\pi m) = \sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$.Имеем $\sin x = 1/2$ и $\cos x = \sqrt{3}/2$, что дает $x = \pi/6 + 2\pi k$.Проверим в первом уравнении: $3\text{ctg}(\pi/6) = 3\sqrt{3}$. $\text{tg}^3(\pi/3+\pi m) = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$. Верно.

2. $y = -\pi/3 + \pi m$.$\cos x = \sin(2y) = \sin(-2\pi/3 + 2\pi m) = \sin(-2\pi/3) = -\sqrt{3}/2$.Имеем $\sin x = 1/2$ и $\cos x = -\sqrt{3}/2$, что дает $x = 5\pi/6 + 2\pi k$.Проверим: $3\text{ctg}(5\pi/6) = 3(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$. $\text{tg}^3(-\pi/3+\pi m) = (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3}$. Верно.

Ответ: $(x=\frac{\pi}{2}+\pi k, y=\pi m); (x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, y=\frac{\pi}{3}+\pi m); (x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, y=-\frac{\pi}{3}+\pi m)$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

3.48. 1) $\begin{cases} \text{tg } x \cdot \text{tg } z = 3, \\ \text{tg } y \cdot \text{tg } z = 6, \\ x + y + z = \pi; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} 2 \cos x = 3 \text{tg } y, \\ 2 \cos y = 3 \text{tg } z, \\ 2 \cos z = 3 \text{tg } x. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} z = 3, \\ \operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg} z = 6, \\ x + y + z = \pi \end{cases} $$

Прежде всего, заметим, что $\operatorname{tg} x, \operatorname{tg} y, \operatorname{tg} z$ должны быть определены, то есть $x, y, z \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для любого целого $k$. Также из первых двух уравнений следует, что $\operatorname{tg} x, \operatorname{tg} y, \operatorname{tg} z$ не равны нулю.

Разделим второе уравнение на первое: $$ \frac{\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg} z}{\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} z} = \frac{6}{3} $$ $$ \frac{\operatorname{tg} y}{\operatorname{tg} x} = 2 \implies \operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x $$

Из третьего уравнения $x + y + z = \pi$ следует, что $x+y = \pi - z$. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: $$ \operatorname{tg}(x+y) = \operatorname{tg}(\pi - z) $$ Используя формулу тангенса суммы и свойство тангенса $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$, получаем: $$ \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} = -\operatorname{tg} z $$

Подставим в это уравнение выражение $\operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x$: $$ \frac{\operatorname{tg} x + 2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x (2 \operatorname{tg} x)} = -\operatorname{tg} z $$ $$ \frac{3 \operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\operatorname{tg} z $$

Из первого уравнения системы выразим $\operatorname{tg} z = \frac{3}{\operatorname{tg} x}$ и подставим в полученное выше уравнение: $$ \frac{3 \operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\frac{3}{\operatorname{tg} x} $$ Разделим обе части на 3 (так как $\operatorname{tg} x \neq 0$): $$ \frac{\operatorname{tg} x}{1 - 2 \operatorname{tg}^2 x} = -\frac{1}{\operatorname{tg} x} $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = -(1 - 2 \operatorname{tg}^2 x) $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = -1 + 2 \operatorname{tg}^2 x $$ $$ \operatorname{tg}^2 x = 1 $$ Отсюда получаем два возможных значения для $\operatorname{tg} x$: $\operatorname{tg} x = 1$ и $\operatorname{tg} x = -1$.

Случай 1: $\operatorname{tg} x = 1$.

Тогда $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из соотношений $\operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} x$ и $\operatorname{tg} z = 3/\operatorname{tg} x$ находим: $\operatorname{tg} y = 2(1) = 2 \implies y = \arctan(2) + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. $\operatorname{tg} z = 3/1 = 3 \implies z = \arctan(3) + m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Подставим эти решения в третье уравнение системы $x + y + z = \pi$: $$ (\frac{\pi}{4} + n\pi) + (\arctan(2) + k\pi) + (\arctan(3) + m\pi) = \pi $$ $$ \frac{\pi}{4} + \arctan(2) + \arctan(3) + (n+k+m)\pi = \pi $$ Вычислим сумму $\arctan(2) + \arctan(3)$. Пусть $\alpha = \arctan(2)$ и $\beta = \arctan(3)$. Тогда $\operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{2+3}{1-2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1$. Так как $\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$, то $\alpha+\beta \in (0, \pi)$. Единственный угол в этом интервале с тангенсом, равным -1, это $\frac{3\pi}{4}$. Значит, $\arctan(2) + \arctan(3) = \frac{3\pi}{4}$. $$ \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ \pi + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ (n+k+m)\pi = 0 \implies n+k+m=0 $$ Итак, первая серия решений: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, $y = \arctan(2) + k\pi$, $z = \arctan(3) + m\pi$ при условии $n+k+m=0$.

Случай 2: $\operatorname{tg} x = -1$.

Тогда $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ для $n \in \mathbb{Z}$. Находим $\operatorname{tg} y$ и $\operatorname{tg} z$: $\operatorname{tg} y = 2(-1) = -2 \implies y = \arctan(-2) + k\pi = -\arctan(2) + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. $\operatorname{tg} z = 3/(-1) = -3 \implies z = \arctan(-3) + m\pi = -\arctan(3) + m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Подставим в третье уравнение: $$ (-\frac{\pi}{4} + n\pi) + (-\arctan(2) + k\pi) + (-\arctan(3) + m\pi) = \pi $$ $$ -\frac{\pi}{4} - (\arctan(2) + \arctan(3)) + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ -\pi + (n+k+m)\pi = \pi $$ $$ (n+k+m)\pi = 2\pi \implies n+k+m=2 $$ Вторая серия решений: $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, $y = -\arctan(2) + k\pi$, $z = -\arctan(3) + m\pi$ при условии $n+k+m=2$.

Ответ: $( \frac{\pi}{4} + n\pi, \arctan(2) + k\pi, \arctan(3) + m\pi )$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$ и $n+k+m=0$;
$( -\frac{\pi}{4} + n\pi, -\arctan(2) + k\pi, -\arctan(3) + m\pi )$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$ и $n+k+m=2$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2 \cos x = 3 \operatorname{tg} y, \\ 2 \cos y = 3 \operatorname{tg} z, \\ 2 \cos z = 3 \operatorname{tg} x \end{cases} $$

Рассмотрим случай, когда $x=y=z$. Система сводится к одному уравнению: $$ 2 \cos x = 3 \operatorname{tg} x $$ Перепишем его, используя $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (предполагая, что $\cos x \neq 0$): $$ 2 \cos^2 x = 3 \sin x $$ Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ 2(1 - \sin^2 x) = 3 \sin x $$ $$ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 $$ Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его: $$ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} $$ Получаем два возможных значения: $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = -2$. Второе значение невозможно, так как $|\sin x| \le 1$. Следовательно, $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это дает две серии решений для $x$:
1) $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. При этом $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.
2) $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. При этом $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.

Таким образом, мы нашли две серии "симметричных" решений:
1. $x = y = z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
2. $x = y = z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь исследуем возможность существования несимметричных решений. Перемножим все три уравнения системы: $$ 8 \cos x \cos y \cos z = 27 \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \operatorname{tg} z = 27 \frac{\sin x \sin y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} $$ $$ 8 \cos^2 x \cos^2 y \cos^2 z = 27 \sin x \sin y \sin z $$ Левая часть неотрицательна, значит, и правая должна быть неотрицательной: $\sin x \sin y \sin z \ge 0$. Это возможно, если:

• все три синуса неотрицательны;
• один синус положителен, а два — отрицательны.

Если $\sin x > 0, \sin y > 0, \sin z > 0$, то $x,y,z \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$. Можно показать, что в этом случае возможно только решение $x=y=z$.

Рассмотрим случай, когда один синус положителен, а два — отрицательны. Например, $\sin x > 0, \sin y < 0, \sin z < 0$. Проанализируем знаки функций. Пусть $x \in (0, \pi/2)$, тогда $\cos x > 0$. Из первого уравнения $3\operatorname{tg} y = 2\cos x > 0$, значит $\operatorname{tg} y > 0$. Так как $\sin y < 0$, то и $\cos y$ должен быть отрицательным, т.е. $y$ находится в 3-й четверти. Если $\cos y < 0$, из второго уравнения $3\operatorname{tg} z = 2\cos y < 0$, значит $\operatorname{tg} z < 0$. Так как $\sin z < 0$, то $\cos z$ должен быть положительным, т.е. $z$ находится в 4-й четверти. Если $\cos z > 0$, из третьего уравнения $3\operatorname{tg} x = 2\cos z > 0$, значит $\operatorname{tg} x > 0$. Так как $\sin x > 0$, то $\cos x > 0$, что согласуется с нашим предположением.

Проверим, может ли это привести к решению. Возьмем $x$ из первой серии симметричных решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$. $2\cos x = 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} y = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg} y = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Учитывая, что $y$ в 3-й четверти, $y = \pi + \frac{\pi}{6} + 2m\pi = \frac{7\pi}{6} + 2m\pi$. $2\cos y = 2 \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} z = -\sqrt{3} \implies \operatorname{tg} z = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Учитывая, что $z$ в 4-й четверти, $z = 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$. $2\cos z = 2 \cos(\frac{11\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это соответствует $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

Так мы нашли циклические решения. Аналогично, взяв $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, мы найдем еще одну серию циклических решений.

Ответ: Система имеет четыре серии решений ($k, m, n \in \mathbb{Z}$):
1. $x = y = z = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.
2. $x = y = z = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
3. $(x,y,z) = (\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2m\pi, \frac{11\pi}{6} + 2n\pi)$ и все циклические перестановки.
4. $(x,y,z) = (\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2m\pi, \frac{7\pi}{6} + 2n\pi)$ и все циклические перестановки.

3.49. Покажите, что прямая $x + 7y = 50$ касается окружности $x^2 + y^2 = 50$, и найдите координаты точки касания.

Для того чтобы доказать, что прямая касается окружности, необходимо показать, что у них есть ровно одна общая точка. Найдем точки пересечения прямой $x + 7y = 50$ и окружности $x^2 + y^2 = 50$, решив соответствующую систему уравнений.

Из уравнения прямой $x + 7y = 50$ выразим переменную $x$:

$x = 50 - 7y$

Теперь подставим это выражение в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 50$:

$(50 - 7y)^2 + y^2 = 50$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$2500 - 2 \cdot 50 \cdot 7y + 49y^2 + y^2 = 50$

$50y^2 - 700y + 2500 - 50 = 0$

$50y^2 - 700y + 2450 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 50:

$y^2 - 14y + 49 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения соответствует количеству точек пересечения прямой и окружности. Если решение одно, то прямая касается окружности. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет единственный корень. Это доказывает, что прямая и окружность имеют только одну общую точку, то есть прямая является касательной к окружности.

Теперь найдем координаты этой точки касания. Для этого решим уравнение $y^2 - 14y + 49 = 0$. Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(y - 7)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень $y = 7$.

Чтобы найти соответствующее значение $x$, подставим $y = 7$ в выражение для $x$, полученное ранее:

$x = 50 - 7y = 50 - 7 \cdot 7 = 50 - 49 = 1$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 7)$.

Ответ: Координаты точки касания $(1, 7)$.

3.50. Найдите сумму первых 10 членов последовательности с общим членом $a_n = 2^{7-n}$.

Данная последовательность определяется общим членом $a_n = 2^{7-n}$. Чтобы найти сумму ее первых 10 членов, сначала определим тип последовательности. Для этого найдем отношение последующего члена к предыдущему:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{7-(n+1)}}{2^{7-n}} = \frac{2^{6-n}}{2^{7-n}} = 2^{(6-n) - (7-n)} = 2^{6-n-7+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Поскольку отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ является постоянной величиной, равной $\frac{1}{2}$, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдем первый член этой прогрессии, подставив $n=1$ в формулу общего члена:

$a_1 = 2^{7-1} = 2^6 = 64$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$.

Нам необходимо найти сумму первых 10 членов, то есть $S_{10}$. Подставим в формулу известные значения: $a_1=64$, $q=\frac{1}{2}$ и $n=10$.

$S_{10} = \frac{64 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}}$.

Проведем вычисления:

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$.

$1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = 128 \cdot \frac{1023}{1024}$.

Упростим полученное выражение, зная, что $1024 = 128 \cdot 8$:

$S_{10} = \frac{128 \cdot 1023}{128 \cdot 8} = \frac{1023}{8}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{1023}{8} = \frac{1024 - 1}{8} = \frac{1024}{8} - \frac{1}{8} = 128 - \frac{1}{8} = 127\frac{7}{8}$.

Ответ: $127\frac{7}{8}$.

3.51. Найдите значение выражения $\left(a+\left(1+\left(\frac{3-a}{a+1}\right)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}$ при $a = -\frac{1}{3}$.

3.51. Для нахождения значения выражения при $a = -\frac{1}{3}$ сначала упростим его, чтобы облегчить вычисления.

Исходное выражение: $\left(a+\left(1+\left(\frac{3-a}{a+1}\right)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}$.

Будем упрощать его по шагам, начиная с самой внутренней части.

1. Возведение в степень -1 означает взятие обратной дроби:
$\left(\frac{3-a}{a+1}\right)^{-1} = \frac{a+1}{3-a}$.

2. Теперь подставим это в следующие скобки и выполним сложение с 1, приведя к общему знаменателю:
$1+\frac{a+1}{3-a} = \frac{3-a}{3-a} + \frac{a+1}{3-a} = \frac{3-a+a+1}{3-a} = \frac{4}{3-a}$.

3. Выражение теперь имеет вид $\left(a+\left(\frac{4}{3-a}\right)^{-1}\right)^{-1}$. Снова возводим в степень -1:
$\left(\frac{4}{3-a}\right)^{-1} = \frac{3-a}{4}$.

4. Подставим полученный результат и выполним сложение с $a$:
$a + \frac{3-a}{4} = \frac{4a}{4} + \frac{3-a}{4} = \frac{4a+3-a}{4} = \frac{3a+3}{4}$.

5. Остался последний шаг — возведение в степень -1 всего выражения. Также вынесем общий множитель 3 в числителе:
$\left(\frac{3a+3}{4}\right)^{-1} = \left(\frac{3(a+1)}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3(a+1)}$.

Мы получили упрощенное выражение $\frac{4}{3(a+1)}$. Теперь в него можно подставить заданное значение $a = -\frac{1}{3}$.

$\frac{4}{3(a+1)} = \frac{4}{3\left(-\frac{1}{3}+1\right)} = \frac{4}{3\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\right)} = \frac{4}{3\left(\frac{2}{3}\right)}$.

В знаменателе $3 \cdot \frac{2}{3} = 2$. Таким образом, получаем:
$\frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2.