Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Решите самостоятельно

Системы вида

$\begin{cases} \operatorname{tg} x \pm \operatorname{tg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases}$, $\begin{cases} \operatorname{ctg} x \pm \operatorname{ctg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases}$, $\begin{cases} \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases}$, $\begin{cases} \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases}$

также решаются указанным способом.

В представленном вопросе указаны четыре типа систем тригонометрических уравнений и утверждается, что все они решаются "указанным способом". Поскольку сам способ в тексте не приводится, ниже представлено развернутое объяснение метода решения для каждого типа систем.

Общий подход заключается в использовании тригонометрических формул сложения/вычитания аргументов (${ \operatorname{tg}(\alpha \pm \beta), \operatorname{ctg}(\alpha \pm \beta) }$), а также формул преобразования произведения в сумму, чтобы связать два уравнения системы и свести ее к более простой алгебраической задаче.

Системы вида ${ \begin{cases} \operatorname{tg} x \pm \operatorname{tg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} }$

Метод решения основан на преобразовании суммы/разности тангенсов. Рассмотрим случай со знаками "плюс" в обоих уравнениях.

Система: ${ \begin{cases} \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} }$.

1. Преобразуем первое уравнение, приведя тангенсы к общему знаменателю:
${ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y} }$.

2. Подставим в полученное выражение известные значения из системы: ${ \frac{\sin \alpha}{\cos x \cos y} = a }$.

3. Отсюда (при ${ a \ne 0 }$) можно выразить произведение ${ \cos x \cos y = \frac{\sin \alpha}{a} }$.

4. Теперь применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: ${ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) }$.

5. Подставим сюда известные значения ${ x+y=\alpha }$ и ${ \cos x \cos y = \frac{\sin \alpha}{a} }$:
${ \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos(x-y)) }$.

6. Из этого уравнения находим ${ \cos(x-y) }$: ${ \cos(x-y) = \frac{2\sin \alpha}{a} - \cos \alpha }$.

7. Пусть ${ C = \frac{2\sin \alpha}{a} - \cos \alpha }$. Если ${ |C| > 1 }$, система не имеет решений. Иначе ${ x - y = \pm \arccos(C) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} }$.

8. В итоге мы получаем простую систему линейных уравнений для ${ x }$ и ${ y }$:
${ \begin{cases} x + y = \alpha \\ x - y = \pm \arccos(C) + 2\pi k \end{cases} }$.

9. Складывая и вычитая уравнения, находим решения:
${ x = \frac{1}{2}(\alpha \pm \arccos(C) + 2\pi k) }$,
${ y = \frac{1}{2}(\alpha \mp \arccos(C) - 2\pi k) }$.

При решении необходимо учитывать область определения: ${ \cos x \ne 0 }$ и ${ \cos y \ne 0 }$. Системы с другими комбинациями знаков решаются аналогично.

Ответ: Система сводится к нахождению ${ \cos(x-y) }$ (или ${ \cos(x+y) }$), что позволяет получить второе линейное уравнение для ${ x }$ и ${ y }$. Решение итоговой линейной системы дает ответ.

Системы вида ${ \begin{cases} \operatorname{ctg} x \pm \operatorname{ctg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} }$

Этот тип систем решается аналогично предыдущему, но с использованием формул для котангенсов.

Система: ${ \begin{cases} \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} }$.

1. Преобразуем первое уравнение:
${ \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\sin y \cos x + \cos y \sin x}{\sin x \sin y} = \frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} }$.

2. Подставим известные значения: ${ \frac{\sin \alpha}{\sin x \sin y} = a }$.

3. Выразим произведение синусов (при ${ a \ne 0 }$): ${ \sin x \sin y = \frac{\sin \alpha}{a} }$.

4. Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: ${ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) }$.

5. Подставим известные величины: ${ \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos \alpha) }$.

6. Выразим ${ \cos(x-y) }$: ${ \cos(x-y) = \frac{2\sin \alpha}{a} + \cos \alpha }$.

7. Дальнейшие шаги полностью аналогичны решению системы с тангенсами: находится ${ x-y }$ и решается система линейных уравнений. Важно не забывать про область определения: ${ \sin x \ne 0 }$ и ${ \sin y \ne 0 }$.

Ответ: Система сводится к нахождению ${ \cos(x-y) }$ (или ${ \cos(x+y) }$), что позволяет получить второе линейное уравнение для ${ x }$ и ${ y }$. Решение итоговой линейной системы дает ответ.

Системы вида ${ \begin{cases} \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} }$

Здесь используется другой подход, основанный на формуле тангенса суммы/разности и теореме Виета.

Система: ${ \begin{cases} \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} }$. (Требуется, чтобы ${ \alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi n }$, чтобы ${ \operatorname{tg} \alpha }$ был определен).

1. Запишем формулу тангенса суммы: ${ \operatorname{tg}(x+y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y} }$.

2. Подставим в нее значения из системы: ${ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - a} }$. (Требуется, чтобы ${ a \ne 1 }$).

3. Из этого уравнения выразим сумму тангенсов: ${ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = (1-a)\operatorname{tg} \alpha }$.

4. Теперь у нас есть система для ${ \operatorname{tg} x }$ и ${ \operatorname{tg} y }$:
${ \begin{cases} \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = (1-a)\operatorname{tg} \alpha \\ \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y = a \end{cases} }$.

5. По обратной теореме Виета, ${ \operatorname{tg} x }$ и ${ \operatorname{tg} y }$ являются корнями ${ t_1, t_2 }$ квадратного уравнения:
${ t^2 - ( (1-a)\operatorname{tg} \alpha ) t + a = 0 }$.

6. Решаем это уравнение. Если действительных корней нет, то и система не имеет решений. Если корни ${ t_1, t_2 }$ существуют, получаем два случая:
а) ${ \operatorname{tg} x = t_1, \operatorname{tg} y = t_2 }$
б) ${ \operatorname{tg} x = t_2, \operatorname{tg} y = t_1 }$

7. Для каждого случая находим ${ x }$ и ${ y }$. Например, для (а) решаем систему ${ \begin{cases} \operatorname{tg} x = t_1 \\ x + y = \alpha \end{cases} }$.
Из первого уравнения: ${ x = \operatorname{arctg}(t_1) + \pi k, k \in \mathbb{Z} }$.
Из второго: ${ y = \alpha - x = \alpha - \operatorname{arctg}(t_1) - \pi k }$.

Эти пары ${ (x, y) }$ и будут решениями. Аналогично для случая (б).

Ответ: Система сводится к нахождению значений ${ \operatorname{tg} x }$ и ${ \operatorname{tg} y }$ как корней квадратного уравнения. После этого переменные ${ x }$ и ${ y }$ находятся из простейших тригонометрических уравнений с учетом второго уравнения исходной системы.

Системы вида ${ \begin{cases} \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} }$

Решение аналогично предыдущему типу систем, но с использованием формулы для котангенса суммы/разности.

Система: ${ \begin{cases} \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} }$. (Требуется, чтобы ${ \alpha \ne \pi n }$, чтобы ${ \operatorname{ctg} \alpha }$ был определен).

1. Используем формулу котангенса суммы: ${ \operatorname{ctg}(x+y) = \frac{\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y - 1}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y} }$.

2. Подставим значения из системы: ${ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{a - 1}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y} }$.

3. Выразим сумму котангенсов: ${ \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y = \frac{a - 1}{\operatorname{ctg} \alpha} }$.

4. Мы получили систему для ${ \operatorname{ctg} x }$ и ${ \operatorname{ctg} y }$:
${ \begin{cases} \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y = \frac{a - 1}{\operatorname{ctg} \alpha} \\ \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = a \end{cases} }$.

5. По обратной теореме Виета, ${ \operatorname{ctg} x }$ и ${ \operatorname{ctg} y }$ являются корнями квадратного уравнения:
${ t^2 - (\frac{a - 1}{\operatorname{ctg} \alpha}) t + a = 0 }$.

6. Находим корни уравнения ${ t_1, t_2 }$ и получаем два случая: ${ (\operatorname{ctg} x, \operatorname{ctg} y) }$ равно ${ (t_1, t_2) }$ или ${ (t_2, t_1) }$.

7. Для каждого случая находим ${ x }$ и ${ y }$ аналогично предыдущему пункту. Например, из ${ \operatorname{ctg} x = t_1 }$ получаем ${ x = \operatorname{arcctg}(t_1) + \pi k }$, а затем ${ y = \alpha - x }$.

Ответ: Система сводится к нахождению значений ${ \operatorname{ctg} x }$ и ${ \operatorname{ctg} y }$ как корней квадратного уравнения. После этого переменные ${ x }$ и ${ y }$ находятся из простейших тригонометрических уравнений с учетом второго уравнения исходной системы.