Страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. 1) $ \begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -0.5, \\ \sin y \cdot \cos x = 0.5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = 0.36, \\ \cos x \sin y = 0.175; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\ \tan x \tan y = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \cos x \cos y = \frac{1+\sqrt{2}}{4}, \\ \cos x \sin y = -3+2\sqrt{2}. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \cos y = -0,5 \\ \sin y \cos x = 0,5 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

Сложим два уравнения системы:
$ \sin x \cos y + \sin y \cos x = -0,5 + 0,5 $
$ \sin(x+y) = 0 $
Отсюда получаем первое уравнение для $x$ и $y$:
$ x+y = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вычтем второе уравнение системы из первого:
$ \sin x \cos y - \sin y \cos x = -0,5 - 0,5 $
$ \sin(x-y) = -1 $
Отсюда получаем второе уравнение для $x$ и $y$:
$ x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x+y = \pi k \\ x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} $

Сложим уравнения этой новой системы, чтобы найти $x$:
$ 2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:
$ 2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n $
$ y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n $, $ y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \cos y = 0,36 \\ \cos x \sin y = 0,175 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, используем формулы синуса суммы и разности.

Складываем уравнения системы:
$ \sin x \cos y + \cos x \sin y = 0,36 + 0,175 $
$ \sin(x+y) = 0,535 $
$ x+y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вычитаем второе уравнение из первого:
$ \sin x \cos y - \cos x \sin y = 0,36 - 0,175 $
$ \sin(x-y) = 0,185 $
$ x-y = (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Получаем систему для $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x+y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k \\ x-y = (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n \end{cases} $

Складывая уравнения, находим $x$:
$ 2x = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n $
$ x = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k+n)) $

Вычитая второе уравнение из первого, находим $y$:
$ 2y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k - ((-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n) $
$ y = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) - (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k-n)) $

Ответ: $ x = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k+n)) $, $ y = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) - (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k-n)) $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \text{tg } x \text{ tg } y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения, используя определение тангенса $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:
$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 3 $
$ \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3 $

Подставим в это уравнение значение $\sin x \sin y$ из первого уравнения системы:
$ \frac{3/4}{\cos x \cos y} = 3 $
Отсюда находим $\cos x \cos y$:
$ \cos x \cos y = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} $

Теперь мы имеем новую систему:
$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases} $

Используем формулы косинуса суммы и разности:
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

Находим $\cos(x-y)$:
$ \cos(x-y) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $
$ x-y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Находим $\cos(x+y)$:
$ \cos(x+y) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} $
$ x+y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассматриваем два случая.
Случай 1: $ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \begin{cases} x-y = 2\pi k \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases} $
Складывая уравнения: $ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi(n+k) $.
Вычитая уравнения: $ 2y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{3} + \pi(n-k) $.

Случай 2: $ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \begin{cases} x-y = 2\pi k \\ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases} $
Складывая уравнения: $ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi(n+k) $.
Вычитая уравнения: $ 2y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k) $.

Ответ: $ (x, y) = (\frac{\pi}{3} + \pi(n+k), \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)) $ и $ (x, y) = (-\frac{\pi}{3} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k)) $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \cos x \cos y = \frac{1+\sqrt{2}}{4} \quad (1) \\ \cos x \sin y = -3+2\sqrt{2} \quad (2) \end{cases} $

Из уравнения (1) следует, что $\cos x \neq 0$, так как правая часть не равна нулю. Возведем оба уравнения системы в квадрат:
$ \cos^2 x \cos^2 y = \left(\frac{1+\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1+2\sqrt{2}+2}{16} = \frac{3+2\sqrt{2}}{16} $
$ \cos^2 x \sin^2 y = (-3+2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 4 \cdot 2 = 17 - 12\sqrt{2} $

Сложим полученные уравнения:
$ \cos^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y = \frac{3+2\sqrt{2}}{16} + 17 - 12\sqrt{2} $
$ \cos^2 x (\cos^2 y + \sin^2 y) = \frac{3+2\sqrt{2} + 16(17 - 12\sqrt{2})}{16} $
$ \cos^2 x = \frac{3+2\sqrt{2} + 272 - 192\sqrt{2}}{16} $
$ \cos^2 x = \frac{275-190\sqrt{2}}{16} $

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы найти $\text{tg } y$:
$ \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{-3+2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})/4} $
$ \text{tg } y = \frac{4(-3+2\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}} = \frac{4(-3+2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{4(-3+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4)}{1-2} = \frac{4(-7+5\sqrt{2})}{-1} = 28-20\sqrt{2} $

Обозначим $C = \frac{275-190\sqrt{2}}{16}$ и $T = 28-20\sqrt{2}$.
Тогда $\cos x = \pm \sqrt{C}$ и $y = \arctan(T) + \pi l, l \in \mathbb{Z}$.

Определим взаимосвязь между решениями для $x$ и $y$, проанализировав знаки в исходной системе.
$A = \frac{1+\sqrt{2}}{4} > 0$ и $B = -3+2\sqrt{2} < 0$.

Случай 1: $\cos x = \sqrt{C} > 0$.
Из (1) $\cos y = A/\cos x > 0$.
Из (2) $\sin y = B/\cos x < 0$.
Если $\cos y > 0$ и $\sin y < 0$, то угол $y$ находится в IV четверти.
Следовательно, $y = \arctan(T) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Решения в этом случае: $x = \pm \arccos(\sqrt{C}) + 2\pi k$ и $y = \arctan(T) + 2\pi m$.

Случай 2: $\cos x = -\sqrt{C} < 0$.
Из (1) $\cos y = A/\cos x < 0$.
Из (2) $\sin y = B/\cos x > 0$.
Если $\cos y < 0$ и $\sin y > 0$, то угол $y$ находится во II четверти.
Следовательно, $y = \arctan(T) + \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Решения в этом случае: $x = \pm \arccos(-\sqrt{C}) + 2\pi k$ и $y = \arctan(T) + (2m+1)\pi$.

Ответ: Решения системы задаются двумя наборами пар $(x, y)$:
1) $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{275-190\sqrt{2}}}{4}\right) + 2\pi k$, $y = \arctan(28-20\sqrt{2}) + 2\pi m$
2) $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{275-190\sqrt{2}}}{4}\right) + 2\pi k$, $y = \arctan(28-20\sqrt{2}) + (2m+1)\pi$
где $k, m \in \mathbb{Z}$.

3.43. 1) $\begin{cases} \sin x - \sin y = 0,5, \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y, \\ \cos^2 x = \sin x \sin y; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sin x \cdot \operatorname{ctg} y = \frac{\sqrt{6}}{2}, \\ \operatorname{tg} x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin x - \sin y = 0,5 \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Применим формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
$ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $
$ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

Система примет вид:$ \begin{cases} 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0,5 \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Заметим, что $ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \neq 0 $, иначе левые части обоих уравнений были бы равны нулю, что противоречит правым частям. Поэтому мы можем разделить первое уравнение на второе:
$ \frac{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $
$ \frac{\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \tan\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Отсюда находим:
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $ n $.

Случай 1: $ n $ - четное число, т.е. $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
В этом случае $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим это в первое уравнение преобразованной системы:
$ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = 0,5 $
$ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2} $
Отсюда $ \frac{x+y}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Получаем две системы для нахождения $ x $ и $ y $:
а) $ \begin{cases} \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} + 4\pi k \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 4\pi m \end{cases} $
Складывая и вычитая уравнения, находим:
$ 2x = \pi + 4\pi(k+m) \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(k+m) $
$ 2y = \frac{\pi}{3} + 4\pi(m-k) \implies y = \frac{\pi}{6} + 2\pi(m-k) $
б) $ \begin{cases} \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \frac{x+y}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} + 4\pi k \\ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi m \end{cases} $
Складывая и вычитая уравнения, находим:
$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi(k+m) \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(k+m) $
$ 2y = -\pi + 4\pi(m-k) \implies y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(m-k) $

Случай 2: $ n $ - нечетное число, т.е. $ n = 2k+1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $
В этом случае $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\frac{1}{2} $. Подставим это в первое уравнение преобразованной системы:
$ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0,5 $
$ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = -\frac{1}{2} $
Отсюда $ \frac{x+y}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Решение этих систем приводит к тем же двум семействам решений, что и в случае 1.

Ответ: $ ( \frac{\pi}{2} + 2\pi(k+m), \frac{\pi}{6} + 2\pi(m-k) ); ( -\frac{\pi}{6} + 2\pi(k+m), -\frac{\pi}{2} + 2\pi(m-k) ) $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4} \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $:
$ (1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = \frac{7}{4} $
$ 2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = \frac{7}{4} $
$ \cos^2 x + \cos^2 y = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} $

Пусть $ u = \cos x $ и $ v = \cos y $. Система примет вид:$ \begin{cases} u + v = 0,5 \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{4} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ v = 0,5 - u $ и подставим во второе:
$ u^2 + (0,5 - u)^2 = \frac{1}{4} $
$ u^2 + 0,25 - u + u^2 = 0,25 $
$ 2u^2 - u = 0 $
$ u(2u - 1) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $ u $: $ u=0 $ или $ u=0,5 $.
Если $ u = 0 $, то $ v = 0,5 - 0 = 0,5 $.
Если $ u = 0,5 $, то $ v = 0,5 - 0,5 = 0 $.

Таким образом, мы имеем две пары значений для $ (\cos x, \cos y) $: $ (0, 0,5) $ и $ (0,5, 0) $.
Случай 1: $ \cos x = 0 $ и $ \cos y = 0,5 $.
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Случай 2: $ \cos x = 0,5 $ и $ \cos y = 0 $.
$ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $ и $ (\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi k) $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y \\ \cos^2 x = \sin x \sin y \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$ \sin^2 x + \cos^2 x = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$ 1 = \cos(x-y) $

Из этого следует, что $ x-y = 2\pi n $ для некоторого целого числа $ n $.
Тогда $ y = x - 2\pi n $, и, следовательно, $ \cos y = \cos x $ и $ \sin y = \sin x $.

Подставим эти соотношения в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$ \sin^2 x = \cos x (\cos x) $
$ \sin^2 x = \cos^2 x $

Разделим обе части на $ \cos^2 x $ (можно проверить, что $ \cos x \neq 0 $, иначе $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение $ 1=0 $ неверно):
$ \tan^2 x = 1 $
$ \tan x = \pm 1 $

Решением этого уравнения является:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ y = x - 2\pi n $, то для каждого решения $ x $ соответствующее решение $ y $ отличается на целое число полных оборотов.
Таким образом, решение системы можно записать как:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad y = x - 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

Это также можно записать как $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $ и $ y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ k,m \in \mathbb{Z} $ и $ k \equiv m \pmod 4 $, так как $ x-y = \frac{\pi}{2}(k-m) $ должно быть кратно $ 2\pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \sin x \cdot \cot y = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \tan x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Перепишем систему, используя определения тангенса и котангенса, при условиях $ \sin y \neq 0, \cos x \neq 0 $:$ \begin{cases} \sin x \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\sqrt{6}}{2} \quad (1) \\ \frac{\sin x}{\cos x} \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это возможно, так как правые части не равны нулю.
$ \frac{\sin x \frac{\cos y}{\sin y}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos y} = \frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{3}/2} $
$ \frac{\cos x}{\sin y} = \sqrt{2} \implies \cos x = \sqrt{2} \sin y $

Возведем полученное соотношение в квадрат: $ \cos^2 x = 2\sin^2 y $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 y $.
Возведем в квадрат второе уравнение исходной системы: $ \tan^2 x \cos^2 y = \frac{3}{4} $.
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 y = \frac{3}{4} $
Подставим выражения для $ \sin^2 x $ и $ \cos^2 x $ через $ \sin^2 y $:
$ \frac{1-2\sin^2 y}{2\sin^2 y} (1-\sin^2 y) = \frac{3}{4} $

Пусть $ u = \sin^2 y $. Уравнение примет вид:
$ \frac{1-2u}{2u} (1-u) = \frac{3}{4} $
$ 2(1-2u)(1-u) = 3u $
$ 2(1 - 3u + 2u^2) = 3u $
$ 4u^2 - 6u + 2 = 3u $
$ 4u^2 - 9u + 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ u = \frac{9 \pm \sqrt{81-32}}{8} = \frac{9 \pm 7}{8} $.
$ u_1 = \frac{16}{8} = 2 $ (невозможно, т.к. $ \sin^2 y \le 1 $)
$ u_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Итак, $ \sin^2 y = \frac{1}{4} \implies \sin y = \pm\frac{1}{2} $.
Тогда $ \cos^2 x = 2 \sin^2 y = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.
Из соотношения $ \cos x = \sqrt{2} \sin y $ следует, что знаки $ \cos x $ и $ \sin y $ должны совпадать.
Проверим знаки, используя второе уравнение $ \tan x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Отсюда знаки $ \tan x $ и $ \cos y $ должны совпадать.

Рассмотрим все возможные комбинации:
1. $ \sin y = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Тогда $ \cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.$ \tan x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковый знак.
- Если $ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x > 0 $), то $ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.
- Если $ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x < 0 $), то $ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $.

2. $ \sin y = -\frac{1}{2}, \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $. Тогда $ \cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.$ \tan x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковый знак.
- Если $ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x < 0 $), то $ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, y = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.
- Если $ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ ($ \tan x > 0 $), то $ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Это соответствует $ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Ответ:
$ ( \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k ); $
$ ( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k ) $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

3.44. 1) $\begin{cases} \mathrm{tg} x = \sin y, \\ \sin x = 2\mathrm{ctg} y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin y = 3 \sin x, \\ 2 \cos x + \cos y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \cos x + 3 \sin x = 2 \cos y, \\ \cos y + 3 \sin y = 2 \cos x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y, \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \operatorname{tg} x = \sin y \\ \sin x = 2\operatorname{ctg} y \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin y \neq 0 \implies y \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Из первого уравнения следует, что $ \operatorname{tg} x \neq 0 $, значит $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Перепишем второе уравнение как $ \sin x = \frac{2\cos y}{\sin y} $. Умножим его на первое уравнение $ \frac{\sin x}{\cos x} = \sin y $:
$\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\cos y}{\sin y} \cdot \sin y$
$\frac{\sin^2 x}{\cos x} = 2\cos y$

Из первого уравнения выразим $ \cos x = \frac{\sin x}{\sin y} $ и подставим в полученное выше выражение:
$\frac{\sin^2 x}{(\sin x / \sin y)} = 2\cos y$
$\sin x \sin y = 2\cos y$

Теперь возведем оба уравнения исходной системы в квадрат:
$\operatorname{tg}^2 x = \sin^2 y \implies \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 y \implies \sin^2 x = \sin^2 y \cos^2 x$
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{\cos^2 y}{\sin^2 y}$

Приравняем правые части выражений для $ \sin^2 x $:
$\sin^2 y \cos^2 x = 4\frac{\cos^2 y}{\sin^2 y}$
$\sin^4 y \cos^2 x = 4\cos^2 y$
Так как $ y \neq \pi n $, то $ \sin y \neq 0 $. Если $ \cos y = 0 $, то $ y = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Тогда $ \sin y = \pm 1 $ и $ \operatorname{ctg} y = 0 $. Из второго уравнения $ \sin x = 0 $, что противоречит ОДЗ ($ x \neq \pi k $). Значит $ \cos y \neq 0 $. Можем разделить на $ \cos^2 y $:
$\operatorname{tg}^2 y \sin^2 y \cos^2 x = 4$

Давайте используем другой, более простой подход. Выразим $ \sin^2 x $ и $ \cos^2 x $ через $ y $:
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y}$
$\cos^2 x = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x + 1} = \frac{1}{\sin^2 y + 1}$
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y} + \frac{1}{\sin^2 y + 1} = 1$
Пусть $ t = \sin^2 y $. С учетом ОДЗ $ 0 < t \leq 1 $.
$\frac{4(1-t)}{t} + \frac{1}{t+1} = 1$
Умножим на $ t(t+1) $:
$4(1-t)(t+1) + t = t(t+1)$
$4(1-t^2) + t = t^2 + t$
$4 - 4t^2 = t^2$
$5t^2 = 4 \implies t^2 = 4/5$
Так как $ t = \sin^2 y $, то $ t^2 = \sin^4 y $.
$\sin^4 y = 4/5 \implies \sin^2 y = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Теперь найдем $ \sin^2 x $:
$\sin^2 x = 4\operatorname{ctg}^2 y = 4\frac{1-\sin^2 y}{\sin^2 y} = 4\frac{1 - 2/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = 4\frac{(\sqrt{5}-2)/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = 2(\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5} - 4$

Мы получили значения для квадратов синусов. Пусть $ x_0 = \arcsin\sqrt{2\sqrt{5}-4} $ и $ y_0 = \arcsin\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}}} $.Проанализируем знаки в исходных уравнениях:
1) $ \operatorname{tg} x = \sin y \implies \frac{\sin x}{\cos x} = \sin y $. Знаки $ \operatorname{tg} x $ и $ \sin y $ должны совпадать.
2) $ \sin x = 2\operatorname{ctg} y \implies \sin x = \frac{2\cos y}{\sin y} \implies \sin x \sin y = 2\cos y $. Знак $ \cos y $ должен совпадать со знаком произведения $ \sin x \sin y $.
Это приводит к четырем случаям взаимного расположения $x$ и $y$ по квадрантам:
• $ x $ в I, $ y $ в I: $ \sin x>0, \cos x>0, \sin y>0, \cos y>0 $.
• $ x $ во II, $ y $ в III: $ \sin x>0, \cos x<0, \sin y<0, \cos y<0 $.
• $ x $ в III, $ y $ во II: $ \sin x<0, \cos x<0, \sin y>0, \cos y<0 $.
• $ x $ в IV, $ y $ в IV: $ \sin x<0, \cos x>0, \sin y<0, \cos y>0 $.

Ответ: $ (x, y) = (\pm x_0 + 2\pi k, \pm y_0 + 2\pi n) $, $ (x, y) = (\pi \mp x_0 + 2\pi k, \pi \pm y_0 + 2\pi n) $, где $ x_0 = \arcsin\sqrt{2\sqrt{5}-4} $, $ y_0 = \arcsin\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}}} $, $ k,n \in \mathbb{Z} $, и знаки в парах $ \pm $ берутся согласованно.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sin y = 3\sin x \\ 2\cos x + \cos y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $ \cos y = 1 - 2\cos x $.
Подставим $ \sin y $ и $ \cos y $ в основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $:
$(3\sin x)^2 + (1 - 2\cos x)^2 = 1$
$9\sin^2 x + 1 - 4\cos x + 4\cos^2 x = 1$
$9\sin^2 x + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
Заменим $ \sin^2 x $ на $ 1 - \cos^2 x $:
$9(1 - \cos^2 x) + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
$9 - 9\cos^2 x + 4\cos^2 x - 4\cos x = 0$
$-5\cos^2 x - 4\cos x + 9 = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 9 = 0$

Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.
$5t^2 + 4t - 9 = 0$
Сумма коэффициентов $ 5+4-9=0 $, поэтому один из корней $ t_1 = 1 $.
По теореме Виета, $ t_1 t_2 = -9/5 $, значит $ t_2 = -9/5 $.
Корень $ t_2 = -9/5 = -1.8 $ не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, поэтому он является посторонним.
Единственное решение для $t$ это $ t=1 $.
$\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

При $ \cos x = 1 $, $ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1-1} = 0 $.
Найдем $y$:
$ \sin y = 3\sin x = 3 \cdot 0 = 0 $
$ \cos y = 1 - 2\cos x = 1 - 2 \cdot 1 = -1 $
Из условий $ \sin y = 0 $ и $ \cos y = -1 $ следует, что $ y = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x=2\pi k, y=\pi+2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \cos x + 3\sin x = 2\cos y \\ \cos y + 3\sin y = 2\cos x \end{cases}$

Рассмотрим случай $ x=y $. Оба уравнения становятся идентичными:
$ \cos x + 3\sin x = 2\cos x \implies 3\sin x = \cos x $
Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x=0 $, что невозможно. Поэтому $ \cos x \neq 0 $. Разделим на $ \cos x $:
$ \operatorname{tg} x = 1/3 \implies x = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Следовательно, $ x = y = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k $ является решением.

Теперь рассмотрим случай $ x \neq y $. Вычтем второе уравнение из первого:
$(\cos x - \cos y) + 3(\sin x - \sin y) = 2(\cos y - \cos x)$
$3(\cos x - \cos y) + 3(\sin x - \sin y) = 0$
$(\cos x + \sin x) - (\cos y + \sin y) = 0 \implies \cos x + \sin x = \cos y + \sin y$
Преобразуем: $ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(y+\frac{\pi}{4}) $.
Так как $ x \neq y $, то общее решение этого уравнения: $ x+\frac{\pi}{4} = \pi - (y+\frac{\pi}{4}) + 2\pi n $, что дает $ x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сложим исходные уравнения:
$(\cos x + \cos y) + 3(\sin x + \sin y) = 2(\cos y + \cos x)$
$3(\sin x + \sin y) = \cos x + \cos y$

Подставим $ y = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n $ в одно из исходных уравнений, например, в первое.
$ \cos y = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x $.
$ \cos x + 3\sin x = 2\sin x \implies \cos x + \sin x = 0 $.
Это уравнение выполняется, если $ \operatorname{tg} x = -1 $, то есть $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Тогда $ y = \frac{\pi}{2} - x + 2\pi n = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{4} + \pi k) + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} - \pi k + 2\pi n $.

Ответ: 1) $ x = y = \operatorname{arctg}(1/3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $;
2) $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, y = \frac{3\pi}{4} - \pi k + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{2}\sin x = \sin y \\ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их:
$(\sqrt{2}\sin x)^2 + (\sqrt{2}\cos x)^2 = (\sin y)^2 + (\sqrt{3}\cos y)^2$
$2\sin^2 x + 2\cos^2 x = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2 = (1-\cos^2 y) + 3\cos^2 y$
$2 = 1 + 2\cos^2 y$
$1 = 2\cos^2 y \implies \cos^2 y = 1/2$
Отсюда $ \cos y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Подставим это значение во второе уравнение системы:
$\sqrt{2}\cos x = \sqrt{3} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проанализируем знаки.
Из уравнения $ \sqrt{2}\sin x = \sin y $ следует, что $ \sin x $ и $ \sin y $ должны иметь одинаковые знаки.
Из уравнения $ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y $ следует, что $ \cos x $ и $ \cos y $ должны иметь одинаковые знаки.
Это означает, что углы $x$ и $y$ должны лежать в одной и той же координатной четверти.

Найдем базовые решения.
Если $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}} $, то $ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k $ и $ y = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $.Совпадение знаков синусов и косинусов означает, что мы должны брать знаки согласованно: $ x = \frac{\pi}{6} $ с $ y = \frac{\pi}{4} $ (I четверть) и $ x = -\frac{\pi}{6} $ с $ y = -\frac{\pi}{4} $ (IV четверть).
Если $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}} $, то $ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $ и $ y = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.Согласование знаков дает пары: $ x = \frac{5\pi}{6} $ с $ y = \frac{3\pi}{4} $ (II четверть) и $ x = -\frac{5\pi}{6} $ с $ y = -\frac{3\pi}{4} $ (III четверть).

Эти четыре набора решений можно компактно записать, связав периоды.
1) $ x = \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \frac{\pi}{4} + k\pi $. При четном $k$ это решения в I четверти, при нечетном $k$ - в III.
2) $ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, y = -\frac{\pi}{4} + k\pi $. При четном $k$ это решения в IV четверти, при нечетном $k$ - во II.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $, и знаки в обеих частях выбираются одинаковыми.

3.45. 1) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{5\pi}{6}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi y = 0,5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}\end{cases}$

Используем формулу произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к первому уравнению системы:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) = \frac{1}{4} $.

Подставим во второе уравнение $ x + y = \frac{\pi}{3} $:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{4} $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $.

Умножим обе части на 2:$ \cos(x - y) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.

$ \cos(x - y) = 1 $.

Отсюда следует, что $ x - y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ x - y = 2\pi k\end{cases}$

Сложим два уравнения: $ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Вычтем второе уравнение из первого: $ 2y = \frac{\pi}{3} - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{6} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{5\pi}{6}\end{cases}$

Используем формулу понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим ее к первому уравнению:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2y)}{2} = \frac{1}{4} $.

$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(2y) = \frac{1}{2} $.

$ \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $.

Используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.

$ 2\cos(\frac{2x + 2y}{2})\cos(\frac{2x - 2y}{2}) = -\frac{3}{2} $.

$ 2\cos(x + y)\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

Подставим $ x + y = \frac{5\pi}{6} $:$ 2\cos(\frac{5\pi}{6})\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

Так как $ \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ 2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

$ -\sqrt{3}\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

$ \cos(x - y) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Отсюда $ x - y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\end{cases}$Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $.Вычитая второе из первого, получаем $ 2y = \frac{4\pi}{6} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{3} - \pi k $.

Случай 2: $ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $.$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\end{cases}$Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k $.Вычитая второе из первого, получаем $ 2y = \frac{6\pi}{6} - 2\pi k = \pi - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{2} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} - \pi k), (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi y) = 0,5\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:$ \cos^2(\pi x) - (1 - \cos^2(\pi y)) = \frac{1}{2} $.

$ \cos^2(\pi x) + \cos^2(\pi y) - 1 = \frac{1}{2} $.

$ \cos^2(\pi x) + \cos^2(\pi y) = \frac{3}{2} $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 + \cos(2\pi x)}{2} + \frac{1 + \cos(2\pi y)}{2} = \frac{3}{2} $.

$ 1 + \cos(2\pi x) + 1 + \cos(2\pi y) = 3 $.

$ \cos(2\pi x) + \cos(2\pi y) = 1 $.

Используем формулу суммы косинусов:$ 2\cos(\frac{2\pi x + 2\pi y}{2})\cos(\frac{2\pi x - 2\pi y}{2}) = 1 $.

$ 2\cos(\pi(x + y))\cos(\pi(x - y)) = 1 $.

Подставим из первого уравнения системы $ x - y = -\frac{1}{3} $:$ 2\cos(\pi(x + y))\cos(\pi(-\frac{1}{3})) = 1 $.

Так как $ \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:$ 2\cos(\pi(x + y)) \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

$ \cos(\pi(x + y)) = 1 $.

Отсюда $ \pi(x + y) = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.$ x + y = 2k $.

Теперь решаем систему линейных уравнений:$\begin{cases} x + y = 2k, \\ x - y = -\frac{1}{3}\end{cases}$

Сложим уравнения: $ 2x = 2k - \frac{1}{3} $, откуда $ x = k - \frac{1}{6} $.

Вычтем второе уравнение из первого: $ 2y = 2k + \frac{1}{3} $, откуда $ y = k + \frac{1}{6} $.

Ответ: $ (k - \frac{1}{6}, k + \frac{1}{6}), k \in \mathbb{Z} $.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \text{tg } x \text{ tg } y = \frac{1}{6}\end{cases}$

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \text{ tg } y} $.

Из первого уравнения $ x + y = \frac{\pi}{4} $, поэтому $ \text{tg}(x + y) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Подставим известные значения в формулу:$ 1 = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \frac{1}{6}} $.

$ 1 = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{\frac{5}{6}} $.

Отсюда $ \text{tg } x + \text{tg } y = \frac{5}{6} $.

Теперь у нас есть система для $ \text{tg } x $ и $ \text{tg } y $. Пусть $ u = \text{tg } x $ и $ v = \text{tg } y $:$\begin{cases} u + v = \frac{5}{6}, \\ uv = \frac{1}{6}\end{cases}$

По теореме Виета, $ u $ и $ v $ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - (u+v)t + uv = 0 $:$ t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0 $.

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей:$ 6t^2 - 5t + 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 $.

Корни уравнения: $ t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} $, то есть $ t_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.

Это означает, что у нас есть два варианта:1) $ \text{tg } x = \frac{1}{2} $ и $ \text{tg } y = \frac{1}{3} $2) $ \text{tg } x = \frac{1}{3} $ и $ \text{tg } y = \frac{1}{2} $

Рассмотрим первый случай: $ x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k $ и $ y = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.Подставим в уравнение $ x + y = \frac{\pi}{4} $:$ \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k + \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n = \frac{\pi}{4} $.

Используя формулу $ \text{arctg } a + \text{arctg } b = \text{arctg}(\frac{a+b}{1-ab}) $, получаем:$ \text{arctg}(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}) = \text{arctg}(\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}) = \text{arctg}(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}) = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \frac{\pi}{4} + \pi(k+n) = \frac{\pi}{4} $. Отсюда $ k+n=0 $, то есть $ n = -k $.

Таким образом, получаем две серии решений:1) $ x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k $, $ y = \text{arctg}(\frac{1}{3}) - \pi k $2) $ x = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k $, $ y = \text{arctg}(\frac{1}{2}) - \pi k $

Ответ: $ (\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi k, \text{arctg}\frac{1}{3} - \pi k), (\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, \text{arctg}\frac{1}{2} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.