Номер 3.45, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. 1) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{5\pi}{6}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi y = 0,5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}\end{cases}$

Используем формулу произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к первому уравнению системы:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) = \frac{1}{4} $.

Подставим во второе уравнение $ x + y = \frac{\pi}{3} $:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{4} $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $.

Умножим обе части на 2:$ \cos(x - y) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.

$ \cos(x - y) = 1 $.

Отсюда следует, что $ x - y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ x - y = 2\pi k\end{cases}$

Сложим два уравнения: $ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Вычтем второе уравнение из первого: $ 2y = \frac{\pi}{3} - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{6} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}, \\ x + y = \frac{5\pi}{6}\end{cases}$

Используем формулу понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим ее к первому уравнению:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2y)}{2} = \frac{1}{4} $.

$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(2y) = \frac{1}{2} $.

$ \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $.

Используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.

$ 2\cos(\frac{2x + 2y}{2})\cos(\frac{2x - 2y}{2}) = -\frac{3}{2} $.

$ 2\cos(x + y)\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

Подставим $ x + y = \frac{5\pi}{6} $:$ 2\cos(\frac{5\pi}{6})\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

Так как $ \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ 2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

$ -\sqrt{3}\cos(x - y) = -\frac{3}{2} $.

$ \cos(x - y) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Отсюда $ x - y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\end{cases}$Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $.Вычитая второе из первого, получаем $ 2y = \frac{4\pi}{6} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{3} - \pi k $.

Случай 2: $ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $.$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\end{cases}$Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k $.Вычитая второе из первого, получаем $ 2y = \frac{6\pi}{6} - 2\pi k = \pi - 2\pi k $, откуда $ y = \frac{\pi}{2} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} - \pi k), (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi y) = 0,5\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:$ \cos^2(\pi x) - (1 - \cos^2(\pi y)) = \frac{1}{2} $.

$ \cos^2(\pi x) + \cos^2(\pi y) - 1 = \frac{1}{2} $.

$ \cos^2(\pi x) + \cos^2(\pi y) = \frac{3}{2} $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 + \cos(2\pi x)}{2} + \frac{1 + \cos(2\pi y)}{2} = \frac{3}{2} $.

$ 1 + \cos(2\pi x) + 1 + \cos(2\pi y) = 3 $.

$ \cos(2\pi x) + \cos(2\pi y) = 1 $.

Используем формулу суммы косинусов:$ 2\cos(\frac{2\pi x + 2\pi y}{2})\cos(\frac{2\pi x - 2\pi y}{2}) = 1 $.

$ 2\cos(\pi(x + y))\cos(\pi(x - y)) = 1 $.

Подставим из первого уравнения системы $ x - y = -\frac{1}{3} $:$ 2\cos(\pi(x + y))\cos(\pi(-\frac{1}{3})) = 1 $.

Так как $ \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:$ 2\cos(\pi(x + y)) \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

$ \cos(\pi(x + y)) = 1 $.

Отсюда $ \pi(x + y) = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.$ x + y = 2k $.

Теперь решаем систему линейных уравнений:$\begin{cases} x + y = 2k, \\ x - y = -\frac{1}{3}\end{cases}$

Сложим уравнения: $ 2x = 2k - \frac{1}{3} $, откуда $ x = k - \frac{1}{6} $.

Вычтем второе уравнение из первого: $ 2y = 2k + \frac{1}{3} $, откуда $ y = k + \frac{1}{6} $.

Ответ: $ (k - \frac{1}{6}, k + \frac{1}{6}), k \in \mathbb{Z} $.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \text{tg } x \text{ tg } y = \frac{1}{6}\end{cases}$

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \text{tg } x \text{ tg } y} $.

Из первого уравнения $ x + y = \frac{\pi}{4} $, поэтому $ \text{tg}(x + y) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Подставим известные значения в формулу:$ 1 = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{1 - \frac{1}{6}} $.

$ 1 = \frac{\text{tg } x + \text{tg } y}{\frac{5}{6}} $.

Отсюда $ \text{tg } x + \text{tg } y = \frac{5}{6} $.

Теперь у нас есть система для $ \text{tg } x $ и $ \text{tg } y $. Пусть $ u = \text{tg } x $ и $ v = \text{tg } y $:$\begin{cases} u + v = \frac{5}{6}, \\ uv = \frac{1}{6}\end{cases}$

По теореме Виета, $ u $ и $ v $ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - (u+v)t + uv = 0 $:$ t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0 $.

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей:$ 6t^2 - 5t + 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 $.

Корни уравнения: $ t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} $, то есть $ t_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.

Это означает, что у нас есть два варианта:1) $ \text{tg } x = \frac{1}{2} $ и $ \text{tg } y = \frac{1}{3} $2) $ \text{tg } x = \frac{1}{3} $ и $ \text{tg } y = \frac{1}{2} $

Рассмотрим первый случай: $ x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k $ и $ y = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.Подставим в уравнение $ x + y = \frac{\pi}{4} $:$ \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k + \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n = \frac{\pi}{4} $.

Используя формулу $ \text{arctg } a + \text{arctg } b = \text{arctg}(\frac{a+b}{1-ab}) $, получаем:$ \text{arctg}(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}) = \text{arctg}(\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}) = \text{arctg}(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}) = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \frac{\pi}{4} + \pi(k+n) = \frac{\pi}{4} $. Отсюда $ k+n=0 $, то есть $ n = -k $.

Таким образом, получаем две серии решений:1) $ x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k $, $ y = \text{arctg}(\frac{1}{3}) - \pi k $2) $ x = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k $, $ y = \text{arctg}(\frac{1}{2}) - \pi k $

Ответ: $ (\text{arctg}\frac{1}{2} + \pi k, \text{arctg}\frac{1}{3} - \pi k), (\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, \text{arctg}\frac{1}{2} - \pi k), k \in \mathbb{Z} $.