Докажите самостоятельно, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Докажите формулы 2, 3, 4.

Поскольку в условии задачи не указаны сами формулы, будем доказывать наиболее вероятный набор стандартных тригонометрических тождеств, которые часто нумеруются и доказываются в такой последовательности. Будем считать, что основная формула косинуса разности уже известна или доказана ранее (как формула 1): $cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ$.

2. Доказательство формулы косинуса суммы: $cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ$.
Представим сумму $α + β$ в виде разности $α - (-β)$.
Применим формулу косинуса разности, подставив $x = α$ и $y = -β$:
$cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cosα cos(-β) + sinα sin(-β)$.
Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $cos(-β) = cosβ$ (косинус — четная функция) и $sin(-β) = -sinβ$ (синус — нечетная функция).
Подставим эти выражения в нашу формулу:
$cosα cosβ + sinα (-sinβ) = cosα cosβ - sinα sinβ$.
Таким образом, доказано, что $cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ$.
Ответ: Формула $cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ$ доказана.

3. Доказательство формулы синуса разности: $sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$.
Воспользуемся формулой приведения $sin(x) = cos(\frac{π}{2} - x)$.
Применим ее к нашему выражению, взяв $x = α - β$:
$sin(α - β) = cos(\frac{π}{2} - (α - β)) = cos((\frac{π}{2} - α) + β)$.
Теперь используем доказанную в пункте 2 формулу косинуса суммы $cos(x + y) = cosx cosy - sinx siny$, где $x = \frac{π}{2} - α$ и $y = β$:
$cos(\frac{π}{2} - α)cosβ - sin(\frac{π}{2} - α)sinβ$.
Снова применим формулы приведения: $cos(\frac{π}{2} - α) = sinα$ и $sin(\frac{π}{2} - α) = cosα$.
Подставим их в выражение:
$sinα cosβ - cosα sinβ$.
Таким образом, доказано, что $sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$.
Ответ: Формула $sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$ доказана.

4. Доказательство формулы синуса суммы: $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$.
Представим сумму $α + β$ в виде разности $α - (-β)$.
Применим доказанную в пункте 3 формулу синуса разности $sin(x - y) = sinx cosy - cosx siny$, подставив $x = α$ и $y = -β$:
$sin(α + β) = sin(α - (-β)) = sinα cos(-β) - cosα sin(-β)$.
Используем свойства четности косинуса ($cos(-β) = cosβ$) и нечетности синуса ($sin(-β) = -sinβ$):
$sinα cosβ - cosα (-sinβ) = sinα cosβ + cosα sinβ$.
Таким образом, доказано, что $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$.
Ответ: Формула $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$ доказана.