Номер 3.53, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. 1) $\arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right)=\frac{\pi}{3}$;

2) $\arccos(1-2x)=\frac{\pi}{2}$;

3) $\operatorname{arctg}(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$;

4) $\operatorname{arcctg}(3x+2)=\frac{\pi}{4}$.

1)Дано уравнение $arcsin(\frac{x}{2}-3) = \frac{\pi}{3}$.
По определению арксинуса, если $arcsin(a)=b$, то $a = sin(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а значение $a$ — отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{3}$, что входит в указанный диапазон.
Следовательно, мы можем преобразовать уравнение к виду:
$\frac{x}{2}-3 = sin(\frac{\pi}{3})$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{x}{2}-3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$\frac{x}{2} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = 2 \cdot (3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$
$x = 6 + \sqrt{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $-1 \le \frac{x}{2}-3 \le 1$.
Подставим $x = 6 + \sqrt{3}$: $\frac{6 + \sqrt{3}}{2} - 3 = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значение $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, что принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Условие выполняется.
Ответ: $x = 6 + \sqrt{3}$.

2)Дано уравнение $arccos(1-2x) = \frac{\pi}{2}$.
По определению арккосинуса, если $arccos(a)=b$, то $a = cos(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0, \pi]$, а значение $a$ — отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{2}$, что входит в указанный диапазон.
Преобразуем уравнение:
$1-2x = cos(\frac{\pi}{2})$
Зная, что $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$1-2x = 0$
Решим уравнение:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $-1 \le 1-2x \le 1$.
Подставим $x = \frac{1}{2}$: $1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$.
Значение $0$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3)Дано уравнение $arctg(2-3x) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арктангенса, если $arctg(a)=b$, то $a = tg(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а $a$ может быть любым действительным числом.
В нашем случае $b = -\frac{\pi}{4}$, что входит в указанный интервал.
Преобразуем уравнение:
$2-3x = tg(-\frac{\pi}{4})$
Зная, что $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$, получаем:
$2-3x = -1$
Решим уравнение:
$3x = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Так как область определения арктангенса — все действительные числа, дополнительная проверка не требуется.
Ответ: $x = 1$.

4)Дано уравнение $arcctg(3x+2) = \frac{\pi}{4}$.
По определению арккотангенса, если $arcctg(a)=b$, то $a = ctg(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(0, \pi)$, а $a$ может быть любым действительным числом.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{4}$, что входит в указанный интервал.
Преобразуем уравнение:
$3x+2 = ctg(\frac{\pi}{4})$
Зная, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$3x+2 = 1$
Решим уравнение:
$3x = 1 - 2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Так как область определения арккотангенса — все действительные числа, дополнительная проверка не требуется.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.