Номер 3.52, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.52–3.58 решите уравнения.

3. 52.

1) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{2}; $

2) $ \arccos \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4}; $

3) $ \arctg 3x = \frac{\pi}{3}; $

4) $ \arctg \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}. $

1) В уравнении $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{2} $, согласно определению арксинуса, аргумент функции $ 2x $ равен синусу угла в правой части. Таким образом, $ 2x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $. Поскольку $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, получаем уравнение $ 2x = 1 $. Отсюда находим $ x = \frac{1}{2} $. Проверка: аргумент арксинуса $ 2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $ принадлежит области определения $ [-1, 1] $, а значение $ \frac{\pi}{2} $ принадлежит области значений $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Решение верно.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} $.

2) В уравнении $ \arccos \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} $, по определению арккосинуса, аргумент $ \frac{x}{3} $ равен косинусу угла $ \frac{\pi}{4} $. Таким образом, $ \frac{x}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $. Поскольку $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем уравнение $ \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Умножая обе части на 3, находим $ x = \frac{3\sqrt{2}}{2} $. Проверка: аргумент арккосинуса $ \frac{x}{3} = \frac{3\sqrt{2}/2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ принадлежит области определения $ [-1, 1] $, а значение $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит области значений $ [0, \pi] $. Решение верно.

Ответ: $ x = \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

3) В уравнении $ \text{arctg } 3x = \frac{\pi}{3} $, по определению арктангенса, аргумент $ 3x $ равен тангенсу угла $ \frac{\pi}{3} $. Таким образом, $ 3x = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $. Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $, получаем уравнение $ 3x = \sqrt{3} $. Разделив обе части на 3, находим $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Область определения арктангенса — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка не требуется.

Ответ: $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

4) В уравнении $ \text{arctg } \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} $, по определению арктангенса, аргумент $ \frac{x}{2} $ равен тангенсу угла $ \frac{\pi}{6} $. Таким образом, $ \frac{x}{2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) $. Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, получаем уравнение $ \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Умножая обе части на 2, находим $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Область определения арктангенса — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка не требуется.

Ответ: $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $.