Номер 3.47, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. 1) $ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{tg} \frac{y}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 2\sqrt{3} \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y = 3 \\ |x - y| = \frac{\pi}{3} \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg}^3 y \\ \cos x = \sin 2y \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$, что означает $x \ne \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнения:

$ \begin{cases} \frac{\sin^2 x - 1}{\sin x} = \sin y, \\ \frac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

$ \begin{cases} \frac{-\cos^2 x}{\sin x} = \sin y, \\ \frac{-\sin^2 x}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $

Перемножим эти два уравнения:

$(\frac{-\cos^2 x}{\sin x}) \cdot (\frac{-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin y \cos y$

$\sin x \cos x = \sin y \cos y$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}\sin(2y)$

$\sin(2x) = \sin(2y)$

Отсюда следуют два случая:

1. $2x = 2y + 2\pi k \implies x = y + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $2x = \pi - 2y + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} - y + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x = y + \pi k$

Если $k$ - четное число ($k=2n$), то $x = y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \sin y$. Подставив в первое уравнение системы, получим: $\sin y - \frac{1}{\sin y} = \sin y \implies -\frac{1}{\sin y} = 0$, что невозможно.

Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$), то $x = y + (2n+1)\pi$. Тогда $\sin x = -\sin y$ и $\cos x = -\cos y$. Подставим в систему:

$ \begin{cases} -\sin y - \frac{1}{-\sin y} = \sin y \implies -\sin y + \frac{1}{\sin y} = \sin y \implies 2\sin^2 y = 1, \\ -\cos y - \frac{1}{-\cos y} = \cos y \implies -\cos y + \frac{1}{\cos y} = \cos y \implies 2\cos^2 y = 1; \end{cases} $

Из обоих уравнений получаем $\sin^2 y = 1/2$ и $\cos^2 y = 1/2$. Это означает, что $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$ для $m \in \mathbb{Z}$.
Соответствующие значения $x$ будут $x = y + \pi + 2\pi n$. Таким образом, первая серия решений: $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, x = y + \pi + 2\pi n$.

Случай 2: $x = \frac{\pi}{2} - y + \pi k$

Если $k$ - четное число ($k=2n$), то $x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \cos y$ и $\cos x = \sin y$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} \cos y - \frac{1}{\cos y} = \sin y, \\ \sin y - \frac{1}{\sin y} = \cos y; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $(\cos y - \sin y) - (\frac{1}{\cos y} - \frac{1}{\sin y}) = \sin y - \cos y$.

$2(\cos y - \sin y) = \frac{\cos y - \sin y}{\sin y \cos y}$.

$(\cos y - \sin y)(2 - \frac{1}{\sin y \cos y}) = 0$.

Возможны два варианта:

а) $\cos y - \sin y = 0 \implies \tan y = 1 \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Подстановка в $\cos y - \frac{1}{\cos y} = \sin y$ дает $\cos y - \frac{1}{\cos y} = \cos y \implies \frac{1}{\cos y} = 0$, что невозможно.

б) $2 - \frac{1}{\sin y \cos y} = 0 \implies \sin y \cos y = \frac{1}{2} \implies \sin(2y) = 1$. Но если сложить уравнения системы, получим $\cos y + \sin y - (\frac{1}{\cos y} + \frac{1}{\sin y}) = \sin y + \cos y \implies \frac{\sin y + \cos y}{\sin y \cos y} = 0 \implies \sin y + \cos y = 0 \implies \tan y = -1$. Это противоречит $\sin(2y)=1$.
Вновь сложим уравнения: $\sin y + \cos y - (\frac{1}{\sin y} + \frac{1}{\cos y}) = \cos y + \sin y$. Это приводит к $\frac{1}{\sin y} + \frac{1}{\cos y} = 0$, то есть $\sin y + \cos y = 0$. Отсюда $\tan y = -1$, $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$. Подставим в первое уравнение: $\cos y - \sin y = 1/\cos y$. Так как $\sin y = -\cos y$, получаем $2\cos y = 1/\cos y \implies 2\cos^2 y=1$, что верно для $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$.
Тогда $x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$. Вторая серия решений: $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n$.

Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$), то $x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$. Тогда $\sin x = -\cos y$ и $\cos x = -\sin y$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} -\cos y + \frac{1}{\cos y} = \sin y, \\ -\sin y + \frac{1}{\sin y} = \cos y; \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1}{\cos y} = \sin y + \cos y, \\ \frac{1}{\sin y} = \sin y + \cos y; \end{cases} $

Если $\sin y + \cos y \ne 0$, то $\frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sin y} \implies \sin y = \cos y \implies \tan y = 1 \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Подстановка дает $\frac{1}{\cos y} = 2\cos y \implies 2\cos^2 y = 1$, что верно для данных $y$.
Тогда $x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$. Третья серия решений: $y = \frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n$.
Случай $\sin y + \cos y = 0$ приводит к $1/\cos y = 0$, что невозможно.

Ответ: $(y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, x = y + \pi + 2\pi n); (y = -\frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{\pi}{2} - y + 2\pi n); (y = \frac{\pi}{4} + \pi m, x = \frac{3\pi}{2} - y + 2\pi n)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \text{tg}\frac{x}{2} + \text{tg}\frac{y}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \\ \text{tg}x + \text{tg}y = 2\sqrt{3}; \end{cases} $

Введем замены: $u = \text{tg}\frac{x}{2}$ и $v = \text{tg}\frac{y}{2}$.
Первое уравнение принимает вид: $u+v = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}x = \frac{2\text{tg}\frac{x}{2}}{1-\text{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1-u^2}$ и $\text{tg}y = \frac{2v}{1-v^2}$.
Второе уравнение принимает вид: $\frac{2u}{1-u^2} + \frac{2v}{1-v^2} = 2\sqrt{3} \implies \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2} = \sqrt{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{u(1-v^2)+v(1-u^2)}{(1-u^2)(1-v^2)} = \frac{u-uv^2+v-u^2v}{(1-u^2)(1-v^2)} = \frac{(u+v)-uv(u+v)}{1-(u^2+v^2)+u^2v^2} = \sqrt{3}$.

Пусть $S = u+v = \frac{2}{\sqrt{3}}$ и $P = uv$.
Тогда $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 - 2P = \frac{4}{3}-2P$.
Подставим в уравнение:
$\frac{S(1-P)}{1-(S^2-2P)+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{1-(\frac{4}{3}-2P)+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{-\frac{1}{3}+2P+P^2} = \sqrt{3}$
$\frac{2(1-P)}{-\frac{1}{3}+2P+P^2} = 3$
$2-2P = -1+6P+3P^2$
$3P^2+8P-3=0$

Решим квадратное уравнение для $P$:
$P = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.
Получаем два значения для $P$: $P_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $P_2 = \frac{-18}{6} = -3$.

Случай 1: $P=uv = 1/3$

Имеем систему для $u$ и $v$: $u+v=2/\sqrt{3}$ и $uv=1/3$.
$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0 \implies t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{3} = 0$.
$3t^2 - 2\sqrt{3}t + 1 = 0$.
Это полный квадрат: $(\sqrt{3}t-1)^2 = 0$.
Отсюда $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $u=v=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$\text{tg}\frac{y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n \implies y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $P=uv = -3$

Имеем систему для $u$ и $v$: $u+v=2/\sqrt{3}$ и $uv=-3$.
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t - 3 = 0$.
Корни: $t = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{4}{3} - 4(-3)}}{2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{40}{3}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$.
Значит, $\{u, v\} = \{\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\}$.
$\{\text{tg}\frac{x}{2}, \text{tg}\frac{y}{2}\} = \{\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\}$.
Отсюда $x = 2\,\text{arctg}(\frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}}) + 2\pi k$ и $y = 2\,\text{arctg}(\frac{1\mp\sqrt{10}}{\sqrt{3}}) + 2\pi n$.

Ответ: $(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k, y=\frac{\pi}{3}+2\pi n)$ и $(x=2\,\text{arctg}(\frac{1\pm\sqrt{10}}{\sqrt{3}})+2\pi k, y=2\,\text{arctg}(\frac{1\mp\sqrt{10}}{\sqrt{3}})+2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \text{tg}x + \text{ctg}y = 3, \\ |x-y| = \frac{\pi}{3}; \end{cases} $

Из второго уравнения следует два случая:

1. $x-y = \pi/3 \implies x = y+\pi/3$

2. $x-y = -\pi/3 \implies x = y-\pi/3$

Случай 1: $x=y+\pi/3$

Подставим в первое уравнение: $\text{tg}(y+\pi/3) + \text{ctg}y = 3$.
$\frac{\sin(y+\pi/3)}{\cos(y+\pi/3)} + \frac{\cos y}{\sin y} = 3$
$\frac{\sin(y+\pi/3)\sin y + \cos(y+\pi/3)\cos y}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{\cos((y+\pi/3)-y)}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{\cos(\pi/3)}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3$
$\frac{1/2}{\cos(y+\pi/3)\sin y} = 3 \implies \cos(y+\pi/3)\sin y = 1/6$.
$\cos(y+\pi/3) = \cos y \cos(\pi/3) - \sin y \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y$.
$(\frac{1}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y)\sin y = 1/6$
$\frac{1}{2}\sin y \cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 y = 1/6$
$\frac{1}{4}\sin(2y) - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1-\cos(2y)}{2} = 1/6$
$3\sin(2y) - 3\sqrt{3}(1-\cos(2y)) = 2$
$3\sin(2y) + 3\sqrt{3}\cos(2y) = 2+3\sqrt{3}$.
Разделим на $\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$:
$\frac{1}{2}\sin(2y) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2y) = \frac{2+3\sqrt{3}}{6}$
$\cos(2y-\pi/6) = \frac{2+3\sqrt{3}}{6}$.
Так как $3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196$, то $\frac{2+5.196}{6} = \frac{7.196}{6} > 1$. Значение косинуса не может быть больше 1, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x=y-\pi/3$

Подставим в первое уравнение: $\text{tg}(y-\pi/3) + \text{ctg}y = 3$.
Аналогично преобразуя, получим:$\frac{\cos((y-(y-\pi/3)))}{\cos(y-\pi/3)\sin y} = 3 \implies \frac{\cos(\pi/3)}{\cos(y-\pi/3)\sin y} = 3$
$\cos(y-\pi/3)\sin y = 1/6$.
$\cos(y-\pi/3) = \cos y \cos(\pi/3) + \sin y \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y$.
$(\frac{1}{2}\cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y)\sin y = 1/6$
$\frac{1}{2}\sin y \cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 y = 1/6$
$\frac{1}{4}\sin(2y) + \frac{\sqrt{3}}{4}(1-\cos(2y)) = 1/6$
$3\sin(2y) + 3\sqrt{3}(1-\cos(2y)) = 2$
$3\sin(2y) - 3\sqrt{3}\cos(2y) = 2-3\sqrt{3}$.
Разделим на 6:
$\frac{1}{2}\sin(2y) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2y) = \frac{2-3\sqrt{3}}{6}$
$\sin(2y-\pi/3) = \frac{2-3\sqrt{3}}{6}$.
Значение $\frac{2-3\sqrt{3}}{6} \approx \frac{2-5.196}{6} \approx -0.53$, что находится в пределах $[-1, 1]$.
$2y-\pi/3 = \arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + 2\pi n$ или $2y-\pi/3 = \pi - \arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + 2\pi n$.
$y = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n$ или $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n$.
Соответствующие значения $x$ находятся из $x=y-\pi/3$.

Ответ: $(y = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n, x = y-\frac{\pi}{3}); (y = \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2-3\sqrt{3}}{6}) + \pi n, x = y-\frac{\pi}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3\text{ctg}x = \text{tg}^3y, \\ \cos x = \sin(2y); \end{cases} $

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k$; $\cos y \ne 0 \implies y \ne \frac{\pi}{2}+\pi n$.
Из второго уравнения: $\cos x = 2\sin y \cos y$.
Из первого: $3\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^3 y}{\cos^3 y}$.

Подставим $\cos x$ из второго уравнения в первое:
$3\frac{2\sin y \cos y}{\sin x} = \frac{\sin^3 y}{\cos^3 y}$.

Рассмотрим случай $\sin y = 0$. Тогда $y=\pi m$.Второе уравнение: $\cos x = \sin(2\pi m) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}+\pi k$.Первое уравнение: $3\text{ctg}(\frac{\pi}{2}+\pi k) = \text{tg}^3(\pi m) \implies 3 \cdot 0 = 0$. Верно.Это первая серия решений: $x = \frac{\pi}{2}+\pi k, y = \pi m$ для $k, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь пусть $\sin y \ne 0$. Можем сократить:
$\frac{6\cos y}{\sin x} = \frac{\sin^2 y}{\cos^3 y} \implies 6\cos^4 y = \sin x \sin^2 y$.

Из $\cos x = 2\sin y \cos y$ следует $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-4\sin^2 y \cos^2 y$.
$6\cos^4 y = \sin x (1-\cos^2 y)$.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от $\sin x$:
$36\cos^8 y = \sin^2 x (1-\cos^2 y)^2 = (1-4\sin^2 y \cos^2 y)(1-\cos^2 y)^2$.
$36\cos^8 y = (1-4(1-\cos^2 y)\cos^2 y)(1-\cos^2 y)^2$.
Пусть $z = \cos^2 y$. Тогда $0 < z < 1$.
$36z^4 = (1-4(1-z)z)(1-z)^2$
$36z^4 = (1-4z+4z^2)(1-2z+z^2)$
$36z^4 = (2z-1)^2 (1-z)^2$.
$6z^2 = |(2z-1)(1-z)|$. Так как $0 < z < 1$, то $1-z > 0$.
$6z^2 = |2z-1|(1-z)$.

а) Если $2z-1 \ge 0 \implies z \ge 1/2$:
$6z^2 = (2z-1)(1-z) = -2z^2+3z-1 \implies 8z^2-3z+1=0$.Дискриминант $D=9-32<0$, решений нет.

б) Если $2z-1 < 0 \implies z < 1/2$:
$6z^2 = -(2z-1)(1-z) = 2z^2-3z+1 \implies 4z^2+3z-1=0$.$z = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(4)(-1)}}{8} = \frac{-3 \pm 5}{8}$.$z_1 = 2/8 = 1/4$, $z_2 = -8/8 = -1$.Так как $z = \cos^2 y > 0$, подходит только $z=1/4$. Это удовлетворяет условию $z < 1/2$.

Итак, $\cos^2 y = 1/4 \implies \sin^2 y = 3/4$.
$\cos y = \pm 1/2, \sin y = \pm \sqrt{3}/2$. Это соответствует $y = \pm \pi/3 + \pi m$.

Найдем $x$.$\cos x = \sin(2y) = 2\sin y \cos y$.$6\cos^4 y = \sin x \sin^2 y \implies 6(1/16) = \sin x (3/4) \implies 3/8 = \sin x (3/4) \implies \sin x = 1/2$.

1. $y = \pi/3 + \pi m$.$\cos y = \pm 1/2, \sin y = \pm \sqrt{3}/2$.$\cos x = \sin(2y) = \sin(2\pi/3 + 2\pi m) = \sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$.Имеем $\sin x = 1/2$ и $\cos x = \sqrt{3}/2$, что дает $x = \pi/6 + 2\pi k$.Проверим в первом уравнении: $3\text{ctg}(\pi/6) = 3\sqrt{3}$. $\text{tg}^3(\pi/3+\pi m) = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$. Верно.

2. $y = -\pi/3 + \pi m$.$\cos x = \sin(2y) = \sin(-2\pi/3 + 2\pi m) = \sin(-2\pi/3) = -\sqrt{3}/2$.Имеем $\sin x = 1/2$ и $\cos x = -\sqrt{3}/2$, что дает $x = 5\pi/6 + 2\pi k$.Проверим: $3\text{ctg}(5\pi/6) = 3(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$. $\text{tg}^3(-\pi/3+\pi m) = (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3}$. Верно.

Ответ: $(x=\frac{\pi}{2}+\pi k, y=\pi m); (x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, y=\frac{\pi}{3}+\pi m); (x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, y=-\frac{\pi}{3}+\pi m)$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.