Номер 3.42, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. 1) $ \begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -0.5, \\ \sin y \cdot \cos x = 0.5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = 0.36, \\ \cos x \sin y = 0.175; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\ \tan x \tan y = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \cos x \cos y = \frac{1+\sqrt{2}}{4}, \\ \cos x \sin y = -3+2\sqrt{2}. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \cos y = -0,5 \\ \sin y \cos x = 0,5 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

Сложим два уравнения системы:
$ \sin x \cos y + \sin y \cos x = -0,5 + 0,5 $
$ \sin(x+y) = 0 $
Отсюда получаем первое уравнение для $x$ и $y$:
$ x+y = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вычтем второе уравнение системы из первого:
$ \sin x \cos y - \sin y \cos x = -0,5 - 0,5 $
$ \sin(x-y) = -1 $
Отсюда получаем второе уравнение для $x$ и $y$:
$ x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x+y = \pi k \\ x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} $

Сложим уравнения этой новой системы, чтобы найти $x$:
$ 2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:
$ 2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n $
$ y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n $, $ y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \cos y = 0,36 \\ \cos x \sin y = 0,175 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, используем формулы синуса суммы и разности.

Складываем уравнения системы:
$ \sin x \cos y + \cos x \sin y = 0,36 + 0,175 $
$ \sin(x+y) = 0,535 $
$ x+y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вычитаем второе уравнение из первого:
$ \sin x \cos y - \cos x \sin y = 0,36 - 0,175 $
$ \sin(x-y) = 0,185 $
$ x-y = (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Получаем систему для $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x+y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k \\ x-y = (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n \end{cases} $

Складывая уравнения, находим $x$:
$ 2x = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n $
$ x = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k+n)) $

Вычитая второе уравнение из первого, находим $y$:
$ 2y = (-1)^k \arcsin(0,535) + \pi k - ((-1)^n \arcsin(0,185) + \pi n) $
$ y = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) - (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k-n)) $

Ответ: $ x = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) + (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k+n)) $, $ y = \frac{1}{2} ((-1)^k \arcsin(0,535) - (-1)^n \arcsin(0,185) + \pi(k-n)) $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \text{tg } x \text{ tg } y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения, используя определение тангенса $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:
$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 3 $
$ \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3 $

Подставим в это уравнение значение $\sin x \sin y$ из первого уравнения системы:
$ \frac{3/4}{\cos x \cos y} = 3 $
Отсюда находим $\cos x \cos y$:
$ \cos x \cos y = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} $

Теперь мы имеем новую систему:
$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases} $

Используем формулы косинуса суммы и разности:
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

Находим $\cos(x-y)$:
$ \cos(x-y) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $
$ x-y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Находим $\cos(x+y)$:
$ \cos(x+y) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} $
$ x+y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассматриваем два случая.
Случай 1: $ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \begin{cases} x-y = 2\pi k \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases} $
Складывая уравнения: $ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi(n+k) $.
Вычитая уравнения: $ 2y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{3} + \pi(n-k) $.

Случай 2: $ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \begin{cases} x-y = 2\pi k \\ x+y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases} $
Складывая уравнения: $ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi(n+k) $.
Вычитая уравнения: $ 2y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k) $.

Ответ: $ (x, y) = (\frac{\pi}{3} + \pi(n+k), \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)) $ и $ (x, y) = (-\frac{\pi}{3} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k)) $, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \cos x \cos y = \frac{1+\sqrt{2}}{4} \quad (1) \\ \cos x \sin y = -3+2\sqrt{2} \quad (2) \end{cases} $

Из уравнения (1) следует, что $\cos x \neq 0$, так как правая часть не равна нулю. Возведем оба уравнения системы в квадрат:
$ \cos^2 x \cos^2 y = \left(\frac{1+\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1+2\sqrt{2}+2}{16} = \frac{3+2\sqrt{2}}{16} $
$ \cos^2 x \sin^2 y = (-3+2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 4 \cdot 2 = 17 - 12\sqrt{2} $

Сложим полученные уравнения:
$ \cos^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y = \frac{3+2\sqrt{2}}{16} + 17 - 12\sqrt{2} $
$ \cos^2 x (\cos^2 y + \sin^2 y) = \frac{3+2\sqrt{2} + 16(17 - 12\sqrt{2})}{16} $
$ \cos^2 x = \frac{3+2\sqrt{2} + 272 - 192\sqrt{2}}{16} $
$ \cos^2 x = \frac{275-190\sqrt{2}}{16} $

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы найти $\text{tg } y$:
$ \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{-3+2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})/4} $
$ \text{tg } y = \frac{4(-3+2\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}} = \frac{4(-3+2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{4(-3+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4)}{1-2} = \frac{4(-7+5\sqrt{2})}{-1} = 28-20\sqrt{2} $

Обозначим $C = \frac{275-190\sqrt{2}}{16}$ и $T = 28-20\sqrt{2}$.
Тогда $\cos x = \pm \sqrt{C}$ и $y = \arctan(T) + \pi l, l \in \mathbb{Z}$.

Определим взаимосвязь между решениями для $x$ и $y$, проанализировав знаки в исходной системе.
$A = \frac{1+\sqrt{2}}{4} > 0$ и $B = -3+2\sqrt{2} < 0$.

Случай 1: $\cos x = \sqrt{C} > 0$.
Из (1) $\cos y = A/\cos x > 0$.
Из (2) $\sin y = B/\cos x < 0$.
Если $\cos y > 0$ и $\sin y < 0$, то угол $y$ находится в IV четверти.
Следовательно, $y = \arctan(T) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Решения в этом случае: $x = \pm \arccos(\sqrt{C}) + 2\pi k$ и $y = \arctan(T) + 2\pi m$.

Случай 2: $\cos x = -\sqrt{C} < 0$.
Из (1) $\cos y = A/\cos x < 0$.
Из (2) $\sin y = B/\cos x > 0$.
Если $\cos y < 0$ и $\sin y > 0$, то угол $y$ находится во II четверти.
Следовательно, $y = \arctan(T) + \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Решения в этом случае: $x = \pm \arccos(-\sqrt{C}) + 2\pi k$ и $y = \arctan(T) + (2m+1)\pi$.

Ответ: Решения системы задаются двумя наборами пар $(x, y)$:
1) $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{275-190\sqrt{2}}}{4}\right) + 2\pi k$, $y = \arctan(28-20\sqrt{2}) + 2\pi m$
2) $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{275-190\sqrt{2}}}{4}\right) + 2\pi k$, $y = \arctan(28-20\sqrt{2}) + (2m+1)\pi$
где $k, m \in \mathbb{Z}$.