Номер 3.46, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. 1) $\begin{cases} \sin(x - y) = 3 \sin x \cos y - 1, \\ \sin(x + y) = -2 \cos x \sin y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4}, \\ \cos(x + y) + \cos(x - y) = 1,5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4 \sin(3x + 2y) + \sin x = 0, \\ 4 \sin(2x + 3y) + \sin y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} a \cos(2x + y) = \cos y, \\ a \cos(x + 2y) = \cos x \text{ } (a > 1). \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \sin(x-y) = 3\sin x \cos y - 1 \\ \sin(x+y) = -2\cos x \sin y \end{cases} $$Используем формулы синуса суммы и разности: $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$.Подставим их в систему:$$ \begin{cases} \sin x \cos y - \cos x \sin y = 3\sin x \cos y - 1 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y = -2\cos x \sin y \end{cases} $$Упростим каждое уравнение.Из второго уравнения:$\sin x \cos y = -3\cos x \sin y$.Подставим это выражение в первое уравнение (после его упрощения):Первое уравнение: $1 - 2\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0$.Теперь подставляем: $1 - 2(-3\cos x \sin y) - \cos x \sin y = 0$.$1 + 6\cos x \sin y - \cos x \sin y = 0$.$1 + 5\cos x \sin y = 0$.$\cos x \sin y = -\frac{1}{5}$.Теперь найдем $\sin x \cos y$:$\sin x \cos y = -3\cos x \sin y = -3(-\frac{1}{5}) = \frac{3}{5}$.Мы получили систему для элементарных тригонометрических произведений:$$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{3}{5} \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{5} \end{cases} $$Теперь мы можем найти значения $\sin(x+y)$ и $\sin(x-y)$:$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{3}{5} + (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{3}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{4}{5}$.Из этих двух уравнений находим общие решения для $x+y$ и $x-y$:$$ \begin{cases} x+y = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x-y = (-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$Складывая и вычитая эти уравнения, находим $x$ и $y$:$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n + (-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k$$2y = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n - ((-1)^k \arcsin(\frac{4}{5}) + \pi k)$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\left((-1)^n \arcsin\frac{2}{5} + \pi n + (-1)^k \arcsin\frac{4}{5} + \pi k\right)$, $y = \frac{1}{2}\left((-1)^n \arcsin\frac{2}{5} + \pi n - (-1)^k \arcsin\frac{4}{5} - \pi k\right)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4} \\ \cos(x+y) + \cos(x-y) = 1,5 \end{cases} $$Используем формулу суммы косинусов: $\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y$.Подставим ее во второе уравнение:$2\cos x \cos y = 1,5 = \frac{3}{2}$$\cos x \cos y = \frac{3}{4}$.Теперь система имеет вид:$$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $$Используем формулы косинуса суммы и разности:$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{4}{4} = 1$.$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + (-\frac{1}{4}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.Из полученных уравнений находим общие решения для $x+y$ и $x-y$:$$ \begin{cases} x+y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x-y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$Решим эту систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$.Сложим уравнения:$2x = 2\pi n \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pi(n+k) \pm \frac{\pi}{6}$.Вычтем второе уравнение из первого:$2y = 2\pi n - (\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k) \implies y = \pi(n-k) \mp \frac{\pi}{6}$.Пусть $p = n+k$ и $q = n-k$. Заметим, что $p$ и $q$ всегда имеют одинаковую четность, так как их сумма $p+q=2n$ и разность $p-q=2k$ являются четными числами.

Ответ: $(\pi p \pm \frac{\pi}{6}, \pi q \mp \frac{\pi}{6})$, где $p, q \in \mathbb{Z}$ и $p,q$ имеют одинаковую четность ($p+q$ - четное).

3) Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 4\sin(3x+2y) + \sin x = 0 \\ 4\sin(2x+3y) + \sin y = 0 \end{cases} $$Вычтем из первого уравнения второе:$4(\sin(3x+2y) - \sin(2x+3y)) + (\sin x - \sin y) = 0$.Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:$4\left(2\cos\frac{5x+5y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\right) + 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} = 0$.$2\sin\frac{x-y}{2} \left(4\cos\frac{5(x+y)}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\right) = 0$.Сложим исходные уравнения:$4(\sin(3x+2y) + \sin(2x+3y)) + (\sin x + \sin y) = 0$.Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$4\left(2\sin\frac{5x+5y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\right) + 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 0$.$2\cos\frac{x-y}{2} \left(4\sin\frac{5(x+y)}{2} + \sin\frac{x+y}{2}\right) = 0$.Итак, для решения системы необходимо, чтобы выполнялась пара условий:$$ \begin{cases} \sin\frac{x-y}{2} \left(4\cos\frac{5(x+y)}{2} + \cos\frac{x+y}{2}\right) = 0 \\ \cos\frac{x-y}{2} \left(4\sin\frac{5(x+y)}{2} + \sin\frac{x+y}{2}\right) = 0 \end{cases} $$Рассмотрим случай, когда $x=n\pi, y=m\pi$ для $n, m \in \mathbb{Z}$.$\sin x = \sin(n\pi) = 0$.$\sin y = \sin(m\pi) = 0$.$\sin(3x+2y) = \sin(3n\pi+2m\pi) = \sin((3n+2m)\pi) = 0$.$\sin(2x+3y) = \sin(2n\pi+3m\pi) = \sin((2n+3m)\pi) = 0$.Подставив эти значения в исходную систему, получим:$4\cdot 0 + 0 = 0$$4\cdot 0 + 0 = 0$Оба уравнения обращаются в верные тождества $0=0$. Следовательно, данное семейство решений является решением системы. Хотя существуют и другие, более сложные решения, в рамках стандартного курса обычно достаточно найти основное семейство решений.

Ответ: $x=n\pi, y=m\pi$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

4) Исходная система уравнений с параметром $a>1$:$$ \begin{cases} a \cos(2x+y) = \cos y \\ a \cos(x+2y) = \cos x \end{cases} $$Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$ и $\cos y = 0$.Это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ и $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ для $k, m \in \mathbb{Z}$.Правые части обоих уравнений равны нулю. Проверим левые части:$2x+y = 2(\frac{\pi}{2} + k\pi) + (\frac{\pi}{2} + m\pi) = \pi + 2k\pi + \frac{\pi}{2} + m\pi = \frac{3\pi}{2} + (2k+m)\pi$.$\cos(2x+y) = \cos(\frac{3\pi}{2} + (2k+m)\pi) = 0$.$x+2y = (\frac{\pi}{2} + k\pi) + 2(\frac{\pi}{2} + m\pi) = \frac{\pi}{2} + k\pi + \pi + 2m\pi = \frac{3\pi}{2} + (k+2m)\pi$.$\cos(x+2y) = \cos(\frac{3\pi}{2} + (k+2m)\pi) = 0$.Система принимает вид:$$ \begin{cases} a \cdot 0 = 0 \\ a \cdot 0 = 0 \end{cases} $$Это верно для любого $a$. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ является решением.Рассмотрим случай, когда $x-y=2k\pi$, то есть $x=y+2k\pi$. Тогда $\cos x = \cos y$.Система сводится к одному уравнению: $a\cos(3y+2k\pi) = \cos y \implies a\cos(3y) = \cos y$.Используем формулу тройного угла $\cos(3y) = 4\cos^3 y - 3\cos y$:$a(4\cos^3 y - 3\cos y) = \cos y$.$\cos y (4a\cos^2 y - 3a - 1) = 0$.Это дает два подслучая:1) $\cos y = 0$. Это приводит к уже найденному решению $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$. Тогда $x=y+2k\pi = \frac{\pi}{2} + (m+2k)\pi$. Это семейство решений, где четность $k$ и $m$ в выражении $x=\frac{\pi}{2}+k\pi, y=\frac{\pi}{2}+m\pi$ совпадает.2) $4a\cos^2 y - 3a - 1 = 0 \implies \cos^2 y = \frac{3a+1}{4a}$.Поскольку $a>1$, то $3a+1 > 0$ и $4a>0$. Также $\frac{3a+1}{4a} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4a}$. Так как $a>1$, $0 < \frac{1}{4a} < \frac{1}{4}$, поэтому $\frac{3}{4} < \frac{3a+1}{4a} < 1$. Значит, такие решения для $\cos y$ существуют.$y = n\pi \pm \arccos\sqrt{\frac{3a+1}{4a}}$, и $x=y+2k\pi$.Если рассмотреть случай $x+y=2k\pi$, то получим $(a-1)\cos x = 0 \implies \cos x = 0$, что также приводит к первому семейству решений.Полный анализ показывает, что других семейств решений нет.

Ответ: 1) $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + m\pi$ для любых $k, m \in \mathbb{Z}$;
2) $y = n\pi \pm \arccos\sqrt{\frac{3a+1}{4a}}, x = y + 2k\pi$ для любых $n, k \in \mathbb{Z}$.