Номер 2.31, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin(\sin 257^\circ) $;

2) $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) $;

3) $ \sin\left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right) + \cos(\operatorname{arctg} 2\sqrt{3}) $;

4) $ \operatorname{tg}\left(5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.

1) Найдем значение выражения $ \arcsin(\sin 257^{\circ}) $.
По определению, область значений функции арксинус $ y = \arcsin(x) $ является отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, что в градусах соответствует $ [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $.
Угол $ 257^{\circ} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $, для которого $ \sin(\alpha) = \sin(257^{\circ}) $.
Используем формулы приведения. Угол $ 257^{\circ} $ находится в третьей четверти.
Представим $ 257^{\circ} $ как $ 180^{\circ} + 77^{\circ} $.
Используя формулу $ \sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin(257^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 77^{\circ}) = -\sin(77^{\circ}) $.
Теперь исходное выражение можно переписать так: $ \arcsin(-\sin(77^{\circ})) $.
Так как арксинус является нечетной функцией, то $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $. Следовательно:
$ \arcsin(-\sin(77^{\circ})) = -\arcsin(\sin(77^{\circ})) $.
Поскольку угол $ 77^{\circ} $ принадлежит промежутку $ [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $, то $ \arcsin(\sin(77^{\circ})) = 77^{\circ} $.
В итоге получаем: $ -77^{\circ} $.
Ответ: $ -77^{\circ} $.

2) Найдем значение выражения $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) $.
По определению, область значений функции арккотангенс $ y = \text{arcctg}(x) $ является интервал $ (0, \pi) $.
Угол $ -\frac{\pi}{11} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in (0, \pi) $, для которого $ \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right) $.
Период функции котангенс равен $ \pi $, то есть $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + k\pi) $ для любого целого $ k $.
Возьмем $ k=1 $:
$ \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right) = \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11} + \pi\right) = \text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right) $.
Угол $ \frac{10\pi}{11} $ принадлежит интервалу $ (0, \pi) $.
Следовательно, $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) = \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right)\right) $.
Так как $ \frac{10\pi}{11} \in (0, \pi) $, то $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right)\right) = \frac{10\pi}{11} $.
Ответ: $ \frac{10\pi}{11} $.

3) Найдем значение выражения $ \sin\left(2\text{arctg}\frac{1}{3}\right) + \cos\left(\text{arctg}\,2\sqrt{3}\right) $.
Разобьем задачу на две части.
1. Вычислим $ \sin\left(2\text{arctg}\frac{1}{3}\right) $.
Пусть $ \alpha = \text{arctg}\frac{1}{3} $. Тогда $ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{3} $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\,\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha} $.
Подставляем значение $ \text{tg}\,\alpha $:
$ \sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} $.
2. Вычислим $ \cos\left(\text{arctg}\,2\sqrt{3}\right) $.
Пусть $ \beta = \text{arctg}\,2\sqrt{3} $. Тогда $ \text{tg}\,\beta = 2\sqrt{3} $ и $ \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta} $. Отсюда $ \cos^2\beta = \frac{1}{1+\text{tg}^2\beta} $.
$ \cos^2\beta = \frac{1}{1+(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1+4 \cdot 3} = \frac{1}{1+12} = \frac{1}{13} $.
Так как $ \text{tg}\,\beta = 2\sqrt{3} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти, где косинус положителен.
Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13} $.
3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{3}{5} + \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{13}}{13} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{13}}{13} $.

4) Найдем значение выражения $ \text{tg}\left(5\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
Сначала найдем значения аркфункций.
$ \text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $: ищем угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $: ищем угол $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \text{tg}\left(5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Осталось найти $ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) $.
Используем формулу приведения $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha $:
$ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Так как $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $, то $ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.