Номер 2.32, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Проверьте справедливость равенства:

1) arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + arccos $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\pi}{2}$;

2) arcsin $\frac{4}{5}$ + arccos $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = arctg $\frac{11}{2}$;

3) arctg 1 + arctg 2 = $\pi$ - arctg 3;

4) arccos $\sqrt{\frac{2}{3}}$ - arccos $\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{\pi}{6}$.

1) Проверим равенство $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Данное равенство является частным случаем основного тригонометрического тождества $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $, которое справедливо для всех $ x \in [-1, 1] $.

В нашем случае $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Поскольку $ 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 $, условие выполняется, и равенство справедливо.

Можно также проверить равенство прямым вычислением:

По определению арксинуса, $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

По определению арккосинуса, $ \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] $.

Сложим полученные значения:

$ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

2) Проверим равенство $ \arcsin\frac{4}{5} + \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg}\frac{11}{2} $.

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{4}{5} $ и $ \beta = \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} $. Найдём тангенс левой части $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $.

Из $ \alpha = \arcsin\frac{4}{5} $ следует, что $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $ и $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $ (так как $ \frac{4}{5} > 0 $).Найдём косинус: $ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.Тогда тангенс: $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $.

Из $ \beta = \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} $ следует, что $ \cos\beta = \frac{2}{\sqrt{5}} $ и $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $ (так как $ \frac{2}{\sqrt{5}} > 0 $).Найдём синус: $ \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $.Тогда тангенс: $ \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2} $.

Теперь используем формулу тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} $.

$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8+3}{6}}{1 - \frac{4}{6}} = \frac{\frac{11}{6}}{\frac{2}{6}} = \frac{11}{2} $.

Поскольку $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $ и $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $, их сумма $ \alpha + \beta \in (0, \pi) $.Так как $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{11}{2} > 0 $, угол $ \alpha + \beta $ находится в первой четверти: $ \alpha + \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

Правая часть равенства, $ \operatorname{arctg}\frac{11}{2} $, по определению арктангенса также является углом из интервала $ (0, \frac{\pi}{2}) $.

Поскольку углы $ (\alpha + \beta) $ и $ \operatorname{arctg}\frac{11}{2} $ лежат в одном и том же интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ и их тангенсы равны, то сами углы равны. Равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

3) Проверим равенство $ \operatorname{arctg}1 + \operatorname{arctg}2 = \pi - \operatorname{arctg}3 $.

Рассмотрим левую часть. Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}1 $ и $ \beta = \operatorname{arctg}2 $.Мы знаем, что $ \alpha = \frac{\pi}{4} $. Поскольку $ 2 > 0 $, $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $.Оценим сумму $ \alpha + \beta $. Так как $ 2 > \sqrt{3} $, то $ \operatorname{arctg}2 > \operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $.Тогда $ \alpha + \beta > \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12} $. Так как $ \frac{7\pi}{12} > \frac{\pi}{2} $, и $ \alpha+\beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $, то $ \alpha+\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi) $.

Найдем тангенс суммы $ \alpha + \beta $:

$ \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}1 + \operatorname{arctg}2) = \frac{\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}1) + \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2)}{1 - \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}1)\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2)} = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{-1} = -3 $.

Таким образом, левая часть является углом из интервала $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, тангенс которого равен -3. Такой угол равен $ \pi + \operatorname{arctg}(-3) = \pi - \operatorname{arctg}3 $.

Левая часть равна $ \pi - \operatorname{arctg}3 $, что совпадает с правой частью. Равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

4) Проверим равенство $ \arccos\sqrt{\frac{2}{3}} - \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} $.

Пусть $ \alpha = \arccos\sqrt{\frac{2}{3}} $ и $ \beta = \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} $. Найдем косинус левой части $ \cos(\alpha - \beta) $.

Из $ \alpha = \arccos\sqrt{\frac{2}{3}} $ следует, что $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} $ и $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $.Тогда $ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Из $ \beta = \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} $ следует, что $ \cos\beta = \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} $. Так как $ \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} > 0 $ и $ \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18}+\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \approx \frac{3 \cdot 1.414 + 1.732}{6} \approx \frac{5.974}{6} < 1 $, то $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $.Найдём синус $ \beta $:$ \cos^2\beta = \left(\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{6+2\sqrt{6}+1}{12} = \frac{7+2\sqrt{6}}{12} $.$ \sin^2\beta = 1 - \frac{7+2\sqrt{6}}{12} = \frac{12-7-2\sqrt{6}}{12} = \frac{5-2\sqrt{6}}{12} $.Заметим, что $ 5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $, тогда $ \sin^2\beta = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{12} $.Поскольку $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $, $ \sin\beta > 0 $, значит $ \sin\beta = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos(\alpha - \beta) = \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \left(\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right) $$ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+1)}{6} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Итак, $ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Теперь определим интервал, в котором лежит $ \alpha-\beta $.Поскольку $ \alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $, то $ \alpha - \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.Сравним $ \cos\alpha $ и $ \cos\beta $: $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} $. $ (3\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 18+3+6\sqrt{6} = 21+6\sqrt{6} $. $ (2\sqrt{6})^2=24 $. Так как $ 21+6\sqrt{6} > 24 $, то $ 3\sqrt{2}+\sqrt{3} > 2\sqrt{6} $, откуда $ \cos\beta > \cos\alpha $.Поскольку функция $ y=\arccos(x) $ убывающая, из $ \cos\beta > \cos\alpha $ следует $ \beta < \alpha $, а значит $ \alpha - \beta > 0 $.

Таким образом, $ \alpha - \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $ и $ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Единственный угол в этом интервале, удовлетворяющий условию, это $ \frac{\pi}{6} $.Следовательно, $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{6} $. Равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.