Номер 3.65, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. 1) $2 \cos x - 1 \ge 0;$

2) $2 \sin x + \sqrt{2} \ge 0;$

3) $2 \cos x - \sqrt{3} \le 0;$

4) $3 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} > 0.$

1) Решим неравенство $2\cos x - 1 \ge 0$.

Сначала преобразуем неравенство, чтобы выразить $\cos x$: $2\cos x \ge 1$, откуда получаем $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

Для решения этого неравенства воспользуемся единичной окружностью. Нам нужно найти все углы x, для которых абсцисса точки на окружности не меньше $\frac{1}{2}$. Граничные точки соответствуют уравнению $\cos x = \frac{1}{2}$, решениями которого являются $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Все значения x, удовлетворяющие условию $\cos x \ge \frac{1}{2}$, находятся на дуге окружности от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ (включая концы). Таким образом, решение на основном промежутке: $-\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}$.

Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $2\sin x + \sqrt{2} \ge 0$.

Выразим $\sin x$ из неравенства: $2\sin x \ge -\sqrt{2}$, что дает $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности нам нужно найти все углы x, для которых ордината точки на окружности больше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Граничные точки находятся из уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями на одном обороте являются $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Условию $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют углы на дуге от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ (двигаясь против часовой стрелки). Таким образом, решение на одном из промежутков длиной $2\pi$ есть $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$.

Учитывая периодичность синуса (период $2\pi$), общее решение будет: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $2\cos x - \sqrt{3} \le 0$.

Преобразуем неравенство: $2\cos x \le \sqrt{3}$, откуда $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности ищем углы x, для которых абсцисса точки не превосходит $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Граничные точки задаются уравнением $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями на промежутке $[0, 2\pi]$ являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$.

Значения x, удовлетворяющие условию $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$, лежат на дуге от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$ (включая концы). То есть, $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{11\pi}{6}$.

Так как период косинуса равен $2\pi$, общее решение неравенства: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $3\operatorname{tg} x + \sqrt{3} > 0$.

Сначала выразим $\operatorname{tg} x$: $3\operatorname{tg} x > -\sqrt{3}$, откуда $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция тангенса имеет период $\pi$ и определена для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решим неравенство на одном периоде, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение x, для которого $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это $x = -\frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастающая на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться для всех x, больших чем $-\frac{\pi}{6}$, до конца интервала. Таким образом, на этом периоде решение: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность тангенса, добавляем $\pi k$ к границам интервала, чтобы получить общее решение: $-\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.