Номер 3.72, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\sin(\cos x)};$

2) $y = \arcsin(1 + \tan^2(\pi x));$

3) $y = \arccos(\tan x);$

4) $y = \sqrt{\tan x - \sin x}.$

1) Для функции $y = \sqrt{\sin(\cos x)}$ область определения задается условием неотрицательности выражения под знаком корня:

$\sin(\cos x) \ge 0$

Пусть $t = \cos x$. Так как область значений косинуса есть отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$. Неравенство принимает вид:

$\sin(t) \ge 0$ при $t \in [-1, 1]$.

Функция синус неотрицательна на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих промежутков с отрезком $[-1, 1]$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, пересечение существует только при $k=0$. Промежуток $[0, \pi]$ пересекается с отрезком $[-1, 1]$ по отрезку $[0, 1]$.

Следовательно, для $t$ должно выполняться условие $0 \le t \le 1$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем двойное неравенство:

$0 \le \cos x \le 1$

Неравенство $\cos x \le 1$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Остается решить неравенство $\cos x \ge 0$.

Косинус неотрицателен в I и IV координатных четвертях, что соответствует промежуткам:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \arcsin(1 + \tg^2(\pi x))$ область определения задается двумя условиями:

1. Аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$: $-1 \le 1 + \tg^2(\pi x) \le 1$.

2. Аргумент тангенса должен быть таким, чтобы тангенс был определен: $\pi x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x \neq \frac{1}{2} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим двойное неравенство. Так как $\tg^2(\pi x)$ является квадратом величины, то $\tg^2(\pi x) \ge 0$. Отсюда следует, что $1 + \tg^2(\pi x) \ge 1$.

Таким образом, система неравенств

$\begin{cases} 1 + \tg^2(\pi x) \ge -1 \\ 1 + \tg^2(\pi x) \le 1 \end{cases}$

сводится к одному уравнению $1 + \tg^2(\pi x) = 1$, поскольку первое неравенство всегда истинно.

Из уравнения следует $\tg^2(\pi x) = 0$, что равносильно $\tg(\pi x) = 0$.

Тангенс равен нулю, если его аргумент равен $\pi k$ для любого целого $k$:

$\pi x = \pi k \implies x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют условию существования тангенса, так как целые числа не могут быть представлены в виде $\frac{1}{2} + n$.

Ответ: $x \in \mathbb{Z}$.

3) Для функции $y = \arccos(\tg x)$ область определения задается двумя условиями:

1. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$: $-1 \le \tg x \le 1$.

2. Тангенс должен быть определен: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим двойное неравенство $-1 \le \tg x \le 1$. На основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $\tg x$ возрастает. Так как $\tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$ и $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, решением на этом промежутке будет отрезок $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Учитывая, что период тангенса равен $\pi$, общее решение неравенства есть объединение отрезков:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это множество не содержит точек вида $\frac{\pi}{2} + \pi n$, так как $|\frac{\pi}{4} + \pi k| < |\frac{\pi}{2} + \pi k|$ для любого целого $k$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{\tg x - \sin x}$ область определения задается двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $\tg x - \sin x \ge 0$.

2. Тангенс должен быть определен: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем неравенство:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \ge 0$

$\sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) \ge 0$

$\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} \ge 0$

Выражение $1 - \cos x$ всегда неотрицательно, т.к. $\cos x \le 1$. Оно обращается в нуль при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках неравенство $0 \ge 0$ выполняется, следовательно, эти точки входят в область определения.

Если $x \neq 2\pi k$, то $1 - \cos x > 0$, и неравенство можно разделить на этот множитель, не меняя знака:

$\frac{\sin x}{\cos x} \ge 0$, что то же самое, что $\tg x \ge 0$.

Тангенс неотрицателен в I и III координатных четвертях. Решением этого неравенства являются промежутки $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Конец промежутка $\frac{\pi}{2} + \pi k$ исключается, так как в этих точках тангенс не определен.

Объединяя решения, заметим, что точки $x=2\pi k$ включаются в найденные промежутки (при $k$, равном четному числу $2m$, промежуток $[2\pi m, \frac{\pi}{2} + 2\pi m)$ содержит точку $2\pi m$). Таким образом, итоговая область определения совпадает с решением неравенства $\tg x \ge 0$.

Ответ: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.