Номер 3.77, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. Докажите неравенство $(1 - \cos \alpha)(1 - \cos \beta)(1 - \cos \gamma) \leq \frac{1}{8}$, если $\alpha, \beta, \gamma$ – углы треугольника.

Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Также, каждый из углов находится в интервале $(0, \pi)$.

Преобразуем левую часть доказываемого неравенства, используя тригонометрическую формулу $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$:

$(1-\cos\alpha)(1-\cos\beta)(1-\cos\gamma) = \left(2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) \left(2 \sin^2 \frac{\beta}{2}\right) \left(2 \sin^2 \frac{\gamma}{2}\right) = 8 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \sin^2 \frac{\gamma}{2}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:

$8 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} \le \frac{1}{8}$.

Разделив обе части неравенства на 8, получим эквивалентное неравенство:

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} \le \frac{1}{64}$.

Так как углы $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi)$, то их половины $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале значения синуса положительны. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \le \frac{1}{8}$.

Докажем это вспомогательное неравенство. Обозначим произведение в левой части как $P$:$P = \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}$.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.

$P = \left(\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}\right) \sin \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right] \sin \frac{\gamma}{2}$.

Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.Используя формулу приведения, получаем:$\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin \frac{\gamma}{2}$.

Подставим это выражение обратно в формулу для $P$:

$P = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin \frac{\gamma}{2}\right] \sin \frac{\gamma}{2}$.

Значение косинуса любого угла не превосходит 1, поэтому $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \le 1$. Это позволяет нам оценить $P$ сверху:

$P \le \frac{1}{2}\left(1 - \sin \frac{\gamma}{2}\right) \sin \frac{\gamma}{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (1-x)x = x - x^2$, где $x = \sin \frac{\gamma}{2}$. Поскольку $\gamma \in (0, \pi)$, то $\frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$, а значит $x = \sin \frac{\gamma}{2} \in (0, 1)$.

График функции $f(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Своё максимальное значение она достигает в вершине при $x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$. Максимальное значение функции равно $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.

Таким образом, $P \le \frac{1}{2} \cdot \max(f(x)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

Мы доказали, что $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \le \frac{1}{8}$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$(1-\cos\alpha)(1-\cos\beta)(1-\cos\gamma) = 8 \left(\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\right)^2 \le 8 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 8 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{8}$.

Неравенство доказано. Равенство достигается в случае, когда $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1$ (то есть $\alpha = \beta$) и $\sin \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}$ (то есть $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\gamma = \frac{\pi}{3}$). Из этих условий следует, что $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$, что соответствует равностороннему треугольнику.

Ответ: Неравенство доказано.