Номер 4.1, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.1. Сколько существует двузначных натуральных чисел, делящихся:

1) на $3$ или на $7$;

2) на $5$ или на $7$?

1) Для решения задачи используем принцип включений-исключений. Количество двузначных чисел, делящихся на 3 или на 7, равно сумме количеств чисел, делящихся на 3 и делящихся на 7, минус количество чисел, делящихся на оба этих числа одновременно (то есть на 21).

Двузначные натуральные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Всего их 90.

1. Найдем количество двузначных чисел, кратных 3.Первое такое число — 12 ($3 \cdot 4$), последнее — 99 ($3 \cdot 33$).Количество таких чисел: $33 - 4 + 1 = 30$.Или можно использовать формулу: $N_3 = \lfloor \frac{99}{3} \rfloor - \lfloor \frac{9}{3} \rfloor = 33 - 3 = 30$.

2. Найдем количество двузначных чисел, кратных 7.Первое такое число — 14 ($7 \cdot 2$), последнее — 98 ($7 \cdot 14$).Количество таких чисел: $14 - 2 + 1 = 13$.Или можно использовать формулу: $N_7 = \lfloor \frac{99}{7} \rfloor - \lfloor \frac{9}{7} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

3. Найдем количество двузначных чисел, кратных и 3, и 7, то есть кратных их наименьшему общему кратному $НОК(3, 7) = 21$.Первое такое число — 21 ($21 \cdot 1$), последнее — 84 ($21 \cdot 4$).Это числа 21, 42, 63, 84. Всего 4 числа.Или можно использовать формулу: $N_{21} = \lfloor \frac{99}{21} \rfloor - \lfloor \frac{9}{21} \rfloor = 4 - 0 = 4$.

4. Теперь найдем искомое количество чисел:$N = N_3 + N_7 - N_{21} = 30 + 13 - 4 = 39$.

Ответ: 39.

2) Аналогично найдем количество двузначных чисел, делящихся на 5 или на 7.

1. Найдем количество двузначных чисел, кратных 5.Первое такое число — 10 ($5 \cdot 2$), последнее — 95 ($5 \cdot 19$).Количество таких чисел: $19 - 2 + 1 = 18$.Или можно использовать формулу: $N_5 = \lfloor \frac{99}{5} \rfloor - \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = 19 - 1 = 18$.

2. Количество двузначных чисел, кратных 7, мы уже нашли: $N_7 = 13$.

3. Найдем количество двузначных чисел, кратных и 5, и 7, то есть кратных $НОК(5, 7) = 35$.Первое такое число — 35 ($35 \cdot 1$), последнее — 70 ($35 \cdot 2$).Это числа 35 и 70. Всего 2 числа.Или можно использовать формулу: $N_{35} = \lfloor \frac{99}{35} \rfloor - \lfloor \frac{9}{35} \rfloor = 2 - 0 = 2$.

4. Теперь найдем искомое количество чисел:$N = N_5 + N_7 - N_{35} = 18 + 13 - 2 = 29$.

Ответ: 29.