Номер 4.8, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.8. Сколькими способами можно посадить 5 учеников: 1) в один ряд; 2) за круглым столом?

1) в один ряд
Данная задача является классической задачей на перестановки. Нам необходимо определить, сколькими способами можно расположить 5 учеников на 5 разных местах в ряду.
На первое место можно посадить любого из 5 учеников.
После того как первый ученик сел, на второе место остается 4 кандидата.
На третье место — 3 кандидата.
На четвертое — 2 кандидата.
И на последнее, пятое место, сядет оставшийся 1 ученик.
Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого места. Это соответствует числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n!$
В нашем случае $n = 5$, поэтому количество способов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Ответ: 120

2) за круглым столом
При рассадке за круглым столом важен не номер конкретного места, а взаимное расположение учеников. Расположения, которые совпадают при повороте стола, считаются одним и тем же способом.
Сначала найдем число перестановок, как если бы места были пронумерованы — это $5! = 120$ способов, как мы выяснили в первом пункте.
Однако, поскольку стол круглый, для каждого уникального способа рассадки существует 5 его "копий", которые получаются простым поворотом стола. Например, если ученики сидят в порядке (A, B, C, D, E), то при повороте это будет выглядеть как (B, C, D, E, A), (C, D, E, A, B) и т.д. Все эти 5 вариантов с точки зрения взаимного расположения эквивалентны.
Следовательно, общее число линейных перестановок нужно разделить на количество учеников ($n$), чтобы исключить повторяющиеся из-за симметрии расположения.
Количество способов для рассадки $n$ объектов за круглым столом вычисляется по формуле:
$Q_n = \frac{n!}{n} = (n-1)!$
Для $n = 5$ учеников:
$Q_5 = (5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Альтернативный подход: можно зафиксировать одного ученика на любом месте. Это убирает "вращательную" симметрию. Теперь нам нужно рассадить оставшихся 4 учеников на 4 оставшихся места, что является задачей на перестановку 4 элементов. Число способов для этого равно $4! = 24$.
Ответ: 24