Номер 4.12, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Запишите выражение в виде степени двучлена:

1) $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$;

2) $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$.

1) Данное выражение $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ необходимо представить в виде степени двучлена.
Заметим, что это выражение очень похоже на формулу куба разности двух чисел: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Давайте попробуем сопоставить члены нашего выражения с этой формулой.
Первый член $x^3$ может быть $a^3$, тогда $a = x$.
Последний член $-27y^3$ может быть $-b^3$, тогда $b^3 = 27y^3$, откуда $b = 3y$.
Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения $-3a^2b$ и $3ab^2$ при найденных $a=x$ и $b=3y$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot (3y) = -9x^2y$. Этот член совпадает с данным в выражении.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot (3y)^2 = 3 \cdot x \cdot 9y^2 = 27xy^2$. Этот член также совпадает.
Поскольку все члены выражения соответствуют разложению куба разности $(x - 3y)$, мы можем записать:
$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)^3$.
Ответ: $(x - 3y)^3$.

2) Данное выражение $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$ необходимо представить в виде степени двучлена.
Выражение состоит из 5 членов, а степени переменных $x$ и $y$ меняются от 4 до 0 и от 0 до 4 соответственно. Это указывает на возможное разложение бинома четвертой степени.
Формула бинома Ньютона для четвертой степени суммы: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
Попробуем сопоставить члены нашего выражения с этой формулой.
Первый член $x^4$ может быть $a^4$, тогда $a = x$.
Последний член $16y^4$ может быть $b^4$, тогда $b^4 = (2y)^4$, откуда $b = 2y$.
Теперь подставим $a=x$ и $b=2y$ в формулу бинома и посмотрим, совпадет ли результат с исходным выражением:
$(x + 2y)^4 = x^4 + 4(x)^3(2y) + 6(x)^2(2y)^2 + 4(x)(2y)^3 + (2y)^4$
$= x^4 + 8x^3y + 6x^2(4y^2) + 4x(8y^3) + 16y^4$
$= x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4$.
Сравнивая полученное разложение с выражением из условия $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$, мы видим, что все члены, кроме четвертого, совпадают. В условии коэффициент при $xy^3$ равен 48, а в правильном разложении он должен быть равен 32.
Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если считать, что коэффициент при $xy^3$ должен быть 32, то выражение можно представить в виде степени двучлена.
$x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4 = (x + 2y)^4$.
Ответ: $(x + 2y)^4$.