Номер 4.17, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Коэффициент третьего члена в разложении бинома

$(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^n$ равен 28.

Найдите средний член разложения.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$, обозначаемый как $T_{k+1}$ (т.е. $(k+1)$-й член), имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае бином имеет вид $(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})^n$, где $a = \sqrt{1+x}$ и $b = -\sqrt{1-x}$.

Третий член разложения соответствует $k=2$. Коэффициент этого члена, согласно условию, равен 28. В контексте формулы бинома Ньютона под коэффициентом члена обычно понимают биномиальный коэффициент $C_n^k$. Таким образом, мы имеем $C_n^2 = 28$.

Решим это уравнение относительно n:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!} = \frac{n(n-1)}{2} = 28$

$n(n-1) = 56$

Это квадратное уравнение $n^2 - n - 56 = 0$. Его корни можно найти подбором. Так как $8 \cdot 7 = 56$, то $n=8$. Второй корень уравнения, $n=-7$, не подходит, поскольку показатель степени $n$ должен быть натуральным числом. Итак, $n=8$.

Теперь, зная $n$, мы можем найти средний член разложения. Поскольку $n=8$ — четное число, разложение будет содержать $n+1=9$ членов. В этом случае средний член один, и его номер равен $\frac{n}{2} + 1$.

Номер среднего члена = $\frac{8}{2} + 1 = 5$.

Нам нужно найти пятый член разложения, $T_5$. В общей формуле это соответствует $k=4$.

$T_5 = T_{4+1} = C_8^4 a^{8-4} b^4 = C_8^4 (\sqrt{1+x})^4 (-\sqrt{1-x})^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Упростим степени выражений с переменной $x$:

$(\sqrt{1+x})^4 = ((1+x)^{1/2})^4 = (1+x)^2$

$(-\sqrt{1-x})^4 = (-1)^4 ( (1-x)^{1/2} )^4 = (1-x)^2$

Теперь объединим все части, чтобы получить итоговое выражение для среднего члена:

$T_5 = 70 \cdot (1+x)^2 \cdot (1-x)^2 = 70 \cdot [(1+x)(1-x)]^2 = 70(1-x^2)^2$.

Выражение можно оставить в таком виде или раскрыть скобки: $70(1 - 2x^2 + x^4)$.

Ответ: $70(1-x^2)^2$.