Страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.1. Сколько существует двузначных натуральных чисел, делящихся:

1) на $3$ или на $7$;

2) на $5$ или на $7$?

1) Для решения задачи используем принцип включений-исключений. Количество двузначных чисел, делящихся на 3 или на 7, равно сумме количеств чисел, делящихся на 3 и делящихся на 7, минус количество чисел, делящихся на оба этих числа одновременно (то есть на 21).

Двузначные натуральные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Всего их 90.

1. Найдем количество двузначных чисел, кратных 3.Первое такое число — 12 ($3 \cdot 4$), последнее — 99 ($3 \cdot 33$).Количество таких чисел: $33 - 4 + 1 = 30$.Или можно использовать формулу: $N_3 = \lfloor \frac{99}{3} \rfloor - \lfloor \frac{9}{3} \rfloor = 33 - 3 = 30$.

2. Найдем количество двузначных чисел, кратных 7.Первое такое число — 14 ($7 \cdot 2$), последнее — 98 ($7 \cdot 14$).Количество таких чисел: $14 - 2 + 1 = 13$.Или можно использовать формулу: $N_7 = \lfloor \frac{99}{7} \rfloor - \lfloor \frac{9}{7} \rfloor = 14 - 1 = 13$.

3. Найдем количество двузначных чисел, кратных и 3, и 7, то есть кратных их наименьшему общему кратному $НОК(3, 7) = 21$.Первое такое число — 21 ($21 \cdot 1$), последнее — 84 ($21 \cdot 4$).Это числа 21, 42, 63, 84. Всего 4 числа.Или можно использовать формулу: $N_{21} = \lfloor \frac{99}{21} \rfloor - \lfloor \frac{9}{21} \rfloor = 4 - 0 = 4$.

4. Теперь найдем искомое количество чисел:$N = N_3 + N_7 - N_{21} = 30 + 13 - 4 = 39$.

Ответ: 39.

2) Аналогично найдем количество двузначных чисел, делящихся на 5 или на 7.

1. Найдем количество двузначных чисел, кратных 5.Первое такое число — 10 ($5 \cdot 2$), последнее — 95 ($5 \cdot 19$).Количество таких чисел: $19 - 2 + 1 = 18$.Или можно использовать формулу: $N_5 = \lfloor \frac{99}{5} \rfloor - \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = 19 - 1 = 18$.

2. Количество двузначных чисел, кратных 7, мы уже нашли: $N_7 = 13$.

3. Найдем количество двузначных чисел, кратных и 5, и 7, то есть кратных $НОК(5, 7) = 35$.Первое такое число — 35 ($35 \cdot 1$), последнее — 70 ($35 \cdot 2$).Это числа 35 и 70. Всего 2 числа.Или можно использовать формулу: $N_{35} = \lfloor \frac{99}{35} \rfloor - \lfloor \frac{9}{35} \rfloor = 2 - 0 = 2$.

4. Теперь найдем искомое количество чисел:$N = N_5 + N_7 - N_{35} = 18 + 13 - 2 = 29$.

Ответ: 29.

4.2. Сколькими способами можно выбрать председателя и его заместителя из: 1) 4 претендентов; 2) 5 претендентов?

1)Для выбора председателя и его заместителя из 4 претендентов нужно учесть, что это две разные должности. Следовательно, порядок выбора важен. Если мы выберем человека А на должность председателя, а человека Б на должность заместителя, это будет один способ. Если же мы выберем человека Б председателем, а человека А – заместителем, это будет уже другой способ.
Таким образом, мы имеем дело с размещениями.
Председателя можно выбрать 4 способами, так как у нас 4 претендента.
После того, как председатель выбран, остается 3 претендента на должность заместителя. Следовательно, заместителя можно выбрать 3 способами.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора:
$4 \cdot 3 = 12$ способов.
Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n=4$, $k=2$:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

2)Аналогично первому пункту, мы выбираем председателя и его заместителя из 5 претендентов. Порядок выбора важен.
Председателя можно выбрать 5 способами.
После выбора председателя, на должность заместителя остается 4 претендента, то есть 4 способа выбрать заместителя.
Общее число способов по правилу умножения:
$5 \cdot 4 = 20$ способов.
Используя формулу для размещений, где $n=5$ и $k=2$:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20

4.3. Сколькими способами можно разложить по двум карманам:

1) 4 монеты;

2) 5 монет разных достоинств?

Эта задача состоит из двух частей, которые различаются тем, являются ли предметы (монеты) различимыми или неразличимыми.

В этом подпункте монеты не указаны как различные, поэтому мы считаем их неразличимыми. Карманы же являются различимыми (например, «левый» и «правый»).

Задача сводится к нахождению количества способов разложить 4 неразличимых предмета по 2 различимым ящикам. Пусть $k_1$ — количество монет в первом кармане, а $k_2$ — во втором. Нам нужно найти количество пар неотрицательных целых чисел $(k_1, k_2)$, сумма которых равна 4:

$k_1 + k_2 = 4$

Перечислим все возможные варианты распределения:

(4 монеты в первом, 0 во втором)
(3 монеты в первом, 1 во втором)
(2 монеты в первом, 2 во втором)
(1 монета в первом, 3 во втором)
(0 монет в первом, 4 во втором)

Всего получается 5 различных способов.

С точки зрения комбинаторики, это задача на сочетания с повторениями. Число способов разложить $n$ неразличимых предметов по $k$ различимым ящикам вычисляется по формуле:

$\bar{C}_k^n = \binom{n+k-1}{k-1}$

В нашем случае количество монет $n=4$, а количество карманов $k=2$. Подставляем значения в формулу:

$\binom{4+2-1}{2-1} = \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$

Ответ: 5.

В этом случае монеты являются различимыми, так как они разных достоинств. Карманы, как и в предыдущем пункте, различимы.

Рассмотрим каждую монету по очереди. Для первой монеты есть два возможных варианта размещения: первый карман или второй. Для второй монеты также существует два независимых варианта. Аналогично для третьей, четвёртой и пятой монет — для каждой из них есть по два варианта.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению количества вариантов для каждой монеты:

$\underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{5 \text{ раз}} = 2^5$

Вычисляем результат:

$2^5 = 32$

Такой тип задач относится к размещениям с повторениями. Число способов разместить $n$ различных предметов по $k$ различным ящикам равно $k^n$. В нашем случае $n=5$ (монеты) и $k=2$ (карманы).

Количество способов: $2^5 = 32$.

Ответ: 32.

4.4. Сколькими способами можно поставить в очередь: 1) 5 человек; 2) 7 человек?

Данная задача посвящена нахождению количества перестановок. Число способов, которыми можно упорядочить (поставить в очередь) $n$ различных объектов, равно числу перестановок из $n$ элементов. Это значение вычисляется с помощью факториала.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов:

$P_n = n!$

где $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

1) 5 человек

В этом случае количество людей $n = 5$. Нам нужно найти количество способов расставить 5 человек в очередь, то есть найти число перестановок $P_5$.

Вычисляем факториал числа 5:

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 способов поставить 5 человек в очередь.

Ответ: 120

2) 7 человек

Здесь количество людей $n = 7$. Аналогично первому пункту, находим число перестановок $P_7$.

Вычисляем факториал числа 7:

$P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Для удобства вычислений можно было использовать результат из предыдущего пункта, так как $5! = 120$:

$P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 42 \cdot 120 = 5040$

Таким образом, существует 5040 способов поставить 7 человек в очередь.

Ответ: 5040

4.5. Сколькими способами из 30 учеников класса можно назначить:

1) одного;

2) двух;

3) трех дежурных по классу?

Эта задача решается с помощью комбинаторики. Так как порядок выбора дежурных не имеет значения (группа из учеников А и Б — это та же группа, что и Б и А), мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов (учеников), а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать (дежурных).

1) одного
Нужно назначить одного дежурного из 30 учеников. В этом случае $n=30$ и $k=1$.
Количество способов равно числу учеников, то есть 30.
Используя формулу сочетаний:
$C_{30}^1 = \frac{30!}{1!(30-1)!} = \frac{30!}{1! \cdot 29!} = \frac{30 \cdot 29!}{29!} = 30$.
Ответ: 30 способов.

2) двух
Нужно назначить двух дежурных из 30 учеников. Здесь $n=30$ и $k=2$.
Вычисляем число сочетаний из 30 по 2:
$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28!}{2 \cdot 1 \cdot 28!} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 15 \cdot 29 = 435$.
Ответ: 435 способов.

3) трех
Нужно назначить трех дежурных из 30 учеников. В данном случае $n=30$ и $k=3$.
Вычисляем число сочетаний из 30 по 3:
$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 27!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{6} = 5 \cdot 29 \cdot 28 = 4060$.
Ответ: 4060 способов.

4.6. Найдите количество всех перестановок букв в слове «рельс».

4.6. Чтобы найти количество всех перестановок букв в слове, необходимо определить общее количество букв и проверить, есть ли среди них повторяющиеся.

Слово «рельс» состоит из 5 букв: 'р', 'е', 'л', 'ь', 'с'.

Все буквы в этом слове являются уникальными, то есть повторений нет.

Количество всех возможных перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле числа перестановок, которая равна факториалу числа элементов: $P_n = n!$

В данном случае, количество букв $n=5$. Подставим это значение в формулу: $P_5 = 5!$

Вычислим значение факториала: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Следовательно, существует 120 различных способов переставить буквы в слове «рельс».

Ответ: 120.

4.7. Сколько натуральных чисел, не превышающих 100, делятся и на 3, и на 5?

Чтобы найти количество натуральных чисел, не превышающих 100, которые делятся одновременно и на 3, и на 5, нужно найти количество чисел, которые делятся на их наименьшее общее кратное (НОК).

Числа 3 и 5 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.

$НОК(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15$

Таким образом, задача сводится к поиску количества натуральных чисел в диапазоне от 1 до 100, которые делятся на 15. Чтобы найти это количество, достаточно разделить верхнюю границу диапазона (100) на 15 и взять целую часть от частного.

$N = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor$

Выполним деление:

$100 \div 15 = 6$ с остатком 10 ($100 = 15 \cdot 6 + 10$).

Целая часть от деления равна 6. Это означает, что в диапазоне от 1 до 100 существует ровно 6 чисел, кратных 15.

Перечислим эти числа для проверки: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Все они не превышают 100 и делятся и на 3, и на 5.

Ответ: 6

4.8. Сколькими способами можно посадить 5 учеников: 1) в один ряд; 2) за круглым столом?

1) в один ряд
Данная задача является классической задачей на перестановки. Нам необходимо определить, сколькими способами можно расположить 5 учеников на 5 разных местах в ряду.
На первое место можно посадить любого из 5 учеников.
После того как первый ученик сел, на второе место остается 4 кандидата.
На третье место — 3 кандидата.
На четвертое — 2 кандидата.
И на последнее, пятое место, сядет оставшийся 1 ученик.
Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого места. Это соответствует числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n!$
В нашем случае $n = 5$, поэтому количество способов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Ответ: 120

2) за круглым столом
При рассадке за круглым столом важен не номер конкретного места, а взаимное расположение учеников. Расположения, которые совпадают при повороте стола, считаются одним и тем же способом.
Сначала найдем число перестановок, как если бы места были пронумерованы — это $5! = 120$ способов, как мы выяснили в первом пункте.
Однако, поскольку стол круглый, для каждого уникального способа рассадки существует 5 его "копий", которые получаются простым поворотом стола. Например, если ученики сидят в порядке (A, B, C, D, E), то при повороте это будет выглядеть как (B, C, D, E, A), (C, D, E, A, B) и т.д. Все эти 5 вариантов с точки зрения взаимного расположения эквивалентны.
Следовательно, общее число линейных перестановок нужно разделить на количество учеников ($n$), чтобы исключить повторяющиеся из-за симметрии расположения.
Количество способов для рассадки $n$ объектов за круглым столом вычисляется по формуле:
$Q_n = \frac{n!}{n} = (n-1)!$
Для $n = 5$ учеников:
$Q_5 = (5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Альтернативный подход: можно зафиксировать одного ученика на любом месте. Это убирает "вращательную" симметрию. Теперь нам нужно рассадить оставшихся 4 учеников на 4 оставшихся места, что является задачей на перестановку 4 элементов. Число способов для этого равно $4! = 24$.
Ответ: 24

4.9. Сколько различных треугольников можно составить из набора отрезков длиной 5 см, 6 см и 7 см?

4.9. Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо проверить выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. В задаче даны отрезки с длинами $a = 5$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см.

Проверим выполнение этого условия для всех возможных пар сторон:

1. Сравним сумму длин сторон $a$ и $b$ с длиной стороны $c$:
$a + b > c \Rightarrow 5 + 6 > 7 \Rightarrow 11 > 7$. Неравенство выполняется.

2. Сравним сумму длин сторон $a$ и $c$ с длиной стороны $b$:
$a + c > b \Rightarrow 5 + 7 > 6 \Rightarrow 12 > 6$. Неравенство выполняется.

3. Сравним сумму длин сторон $b$ и $c$ с длиной стороны $a$:
$b + c > a \Rightarrow 6 + 7 > 5 \Rightarrow 13 > 5$. Неравенство выполняется.

Поскольку все три условия выполняются, из данных отрезков можно составить треугольник. Так как нам дан конкретный набор из трех отрезков, мы можем составить из них только один треугольник. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), любой треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см будет равен (конгруэнтен) любому другому треугольнику с такими же сторонами. Следовательно, можно составить только один различный треугольник.

Ответ: 1.

4.10. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове:

1) «Отан»;

2) «Асар»?

1) Слово «Отан» состоит из 4 букв: О, Т, А, Н. Все буквы в этом слове различны, то есть не повторяются. Задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 различных элементов. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле:
$P_n = n!$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.
В данном случае $n = 4$.
Вычисляем количество различных слов:
$P_4 = 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
Следовательно, из букв слова «Отан» можно составить 24 различных слова.
Ответ: 24

2) Слово «Асар» состоит из 4 букв: А, С, А, Р. В этом слове есть повторяющиеся буквы: буква «А» встречается 2 раза, а буквы «С» и «Р» — по одному разу.
В этом случае мы имеем дело с перестановками с повторениями. Количество таких перестановок вычисляется по формуле:
$P(n; k_1, k_2, \dots, k_m) = \frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!}$
где $n$ — общее количество букв, а $k_1, k_2, \dots, k_m$ — количество повторений каждой из букв.
В нашем случае общее количество букв $n = 4$. Буква «А» повторяется $k_1 = 2$ раза. Остальные буквы не повторяются (или, можно сказать, повторяются по 1 разу, но $1! = 1$, поэтому в знаменателе их можно не учитывать).
Вычисляем количество различных слов:
$P(4; 2) = \frac{4!}{2!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{1 \times 2} = \frac{24}{2} = 12$.
Следовательно, из букв слова «Асар» можно составить 12 различных слов.
Ответ: 12

4.11. Разложите бином на слагаемые:

1) $(x + 2y)^3$;

2) $(3x - y)^3$;

3) $(a + b)^4$;

4) $(a - 2b)^4$.

1) Для разложения бинома $(x + 2y)^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Подставим эти значения в формулу:

$(x + 2y)^3 = (x)^3 + 3 \cdot (x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Теперь выполним вычисления и упростим выражение:

$x^3 + 3x^2(2y) + 3x(4y^2) + 8y^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

2) Для разложения бинома $(3x - y)^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Здесь $a = 3x$ и $b = y$. Подставим эти значения в формулу:

$(3x - y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot (3x) \cdot y^2 - (y)^3$

Упростим полученное выражение:

$27x^3 - 3 \cdot (9x^2) \cdot y + 9xy^2 - y^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

3) Для разложения бинома $(a + b)^4$ воспользуемся формулой бинома Ньютона $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k$ – биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=4$ коэффициенты, которые можно найти с помощью треугольника Паскаля, равны 1, 4, 6, 4, 1. Таким образом, формула разложения для четвертой степени имеет вид:

$(a+b)^4 = 1 \cdot a^4 b^0 + 4 \cdot a^3 b^1 + 6 \cdot a^2 b^2 + 4 \cdot a^1 b^3 + 1 \cdot a^0 b^4$

Упростив, получаем:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

4) Для разложения бинома $(a - 2b)^4$ используем ту же формулу для четвертой степени, что и в предыдущем пункте. В данном случае в формулу $(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$ подставим $x = a$ и $y = -2b$.

$(a + (-2b))^4 = a^4 + 4a^3(-2b) + 6a^2(-2b)^2 + 4a(-2b)^3 + (-2b)^4$

Теперь выполним вычисления, обращая внимание на знаки и степени:

$a^4 + 4a^3(-2b) + 6a^2(4b^2) + 4a(-8b^3) + 16b^4$

Упростим и получим окончательный результат:

$a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

Ответ: $a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

4.12. Запишите выражение в виде степени двучлена:

1) $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$;

2) $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$.

1) Данное выражение $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ необходимо представить в виде степени двучлена.
Заметим, что это выражение очень похоже на формулу куба разности двух чисел: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Давайте попробуем сопоставить члены нашего выражения с этой формулой.
Первый член $x^3$ может быть $a^3$, тогда $a = x$.
Последний член $-27y^3$ может быть $-b^3$, тогда $b^3 = 27y^3$, откуда $b = 3y$.
Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения $-3a^2b$ и $3ab^2$ при найденных $a=x$ и $b=3y$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot (3y) = -9x^2y$. Этот член совпадает с данным в выражении.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot (3y)^2 = 3 \cdot x \cdot 9y^2 = 27xy^2$. Этот член также совпадает.
Поскольку все члены выражения соответствуют разложению куба разности $(x - 3y)$, мы можем записать:
$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)^3$.
Ответ: $(x - 3y)^3$.

2) Данное выражение $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$ необходимо представить в виде степени двучлена.
Выражение состоит из 5 членов, а степени переменных $x$ и $y$ меняются от 4 до 0 и от 0 до 4 соответственно. Это указывает на возможное разложение бинома четвертой степени.
Формула бинома Ньютона для четвертой степени суммы: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
Попробуем сопоставить члены нашего выражения с этой формулой.
Первый член $x^4$ может быть $a^4$, тогда $a = x$.
Последний член $16y^4$ может быть $b^4$, тогда $b^4 = (2y)^4$, откуда $b = 2y$.
Теперь подставим $a=x$ и $b=2y$ в формулу бинома и посмотрим, совпадет ли результат с исходным выражением:
$(x + 2y)^4 = x^4 + 4(x)^3(2y) + 6(x)^2(2y)^2 + 4(x)(2y)^3 + (2y)^4$
$= x^4 + 8x^3y + 6x^2(4y^2) + 4x(8y^3) + 16y^4$
$= x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4$.
Сравнивая полученное разложение с выражением из условия $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 48xy^3 + 16y^4$, мы видим, что все члены, кроме четвертого, совпадают. В условии коэффициент при $xy^3$ равен 48, а в правильном разложении он должен быть равен 32.
Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если считать, что коэффициент при $xy^3$ должен быть 32, то выражение можно представить в виде степени двучлена.
$x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4 = (x + 2y)^4$.
Ответ: $(x + 2y)^4$.

4.13. На окружности отмечены 12 точек.

1) Сколько хорд можно провести с концами в указанных точках?

2) Сколько тре-угольников можно построить с вершинами в указанных точках?

1) Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Чтобы найти количество возможных хорд, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 12 данных. Поскольку порядок выбора точек не имеет значения (хорда, соединяющая точку А и точку Б, — это та же самая хорда, что соединяет точку Б и точку А), мы используем формулу для числа сочетаний из n по k: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее количество точек $n=12$, а для построения хорды нужно выбрать $k=2$ точки. Таким образом, число хорд равно числу сочетаний из 12 по 2:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$.

Ответ: 66

2) Треугольник образуется тремя точками, которые являются его вершинами. Так как все 12 точек лежат на окружности, любые три из них не лежат на одной прямой и, следовательно, могут образовать треугольник. Чтобы найти количество возможных треугольников, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 3 вершины из 12 данных точек. Порядок выбора вершин также не важен, поэтому мы снова используем формулу для числа сочетаний.

Здесь общее количество точек $n=12$, а для построения треугольника необходимо выбрать $k=3$ точки. Число треугольников равно числу сочетаний из 12 по 3:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Ответ: 220

4.14. Напишите пятый член в разложении бинома $(2x\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^8$.

Для нахождения пятого члена разложения бинома $(2x\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^8$ воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае имеем:

$a = 2x\sqrt{x} = 2x \cdot x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} = 2x^{3/2}$

$b = -\sqrt[3]{x} = -x^{1/3}$

$n = 8$

Мы ищем пятый член разложения, следовательно, номер члена $k+1=5$, откуда $k=4$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_5 = T_{4+1} = C_8^4 (2x^{3/2})^{8-4} (-x^{1/3})^4$

Вычислим каждый компонент по отдельности.

1. Найдем биномиальный коэффициент $C_8^4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

2. Упростим первый член в степени:

$(2x^{3/2})^{8-4} = (2x^{3/2})^4 = 2^4 \cdot (x^{3/2})^4 = 16 \cdot x^{(3/2) \cdot 4} = 16x^6$.

3. Упростим второй член в степени:

$(-x^{1/3})^4 = (-1)^4 \cdot (x^{1/3})^4 = 1 \cdot x^{4/3} = x^{4/3}$.

4. Теперь соберем все части вместе, чтобы найти пятый член:

$T_5 = 70 \cdot (16x^6) \cdot (x^{4/3})$

$T_5 = 1120 \cdot x^6 \cdot x^{4/3}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$T_5 = 1120 \cdot x^{6 + 4/3} = 1120 \cdot x^{18/3 + 4/3} = 1120x^{22/3}$.

Таким образом, пятый член разложения равен $1120x^{22/3}$.

Ответ: $1120x^{22/3}$.

4.15. Напишите средний член в разложении бинома $(2a + \frac{b}{2})^{10}$.

Для нахождения среднего члена в разложении бинома $(x+y)^n$ используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

Общий член разложения, который является $(k+1)$-м по счету, определяется формулой:

$T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$

В нашем случае дан бином $(2a + \frac{b}{2})^{10}$. Соответственно, имеем:

• $x = 2a$
• $y = \frac{b}{2}$
• $n = 10$

Поскольку показатель степени $n=10$ является четным числом, разложение бинома будет состоять из $n+1 = 10+1=11$ членов. При нечетном количестве членов в разложении существует только один средний член.

Номер этого среднего члена можно найти по формуле $\frac{n}{2} + 1$.

Подставляем значение $n=10$:

Номер среднего члена = $\frac{10}{2} + 1 = 5 + 1 = 6$.

Таким образом, нам необходимо найти шестой член разложения, то есть $T_6$.

Для нахождения $T_6$ в формуле общего члена $T_{k+1}$ необходимо взять $k=5$, так как $k+1=6$.

Подставим все известные значения в формулу для $T_6$:

$T_6 = T_{5+1} = C_{10}^5 (2a)^{10-5} (\frac{b}{2})^5$

Теперь вычислим каждую часть выражения по отдельности.

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^5$:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$.

2. Вычислим степени остальных сомножителей:

$(2a)^{10-5} = (2a)^5 = 2^5 a^5 = 32a^5$

$(\frac{b}{2})^5 = \frac{b^5}{2^5} = \frac{b^5}{32}$

3. Теперь объединим все вычисленные части, чтобы найти итоговое значение шестого члена:

$T_6 = 252 \cdot (32a^5) \cdot (\frac{b^5}{32})$

Как мы видим, множители $32$ и $\frac{1}{32}$ взаимно сокращаются:

$T_6 = 252 a^5 b^5$

Ответ: $252a^5b^5$

4.16. Найдите $n$, если коэффициенты 3-го и 7-го членов в разложении бинома $(1+x)^n$ равны между собой.

Разложение бинома $(1+x)^n$ по формуле бинома Ньютона имеет вид: $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k$. Коэффициент $(k+1)$-го члена в этом разложении равен биномиальному коэффициенту $\binom{n}{k}$.

Коэффициент 3-го члена (соответствует $k=2$) равен $\binom{n}{2}$.
Коэффициент 7-го члена (соответствует $k=6$) равен $\binom{n}{6}$.

Согласно условию задачи, эти коэффициенты равны между собой:$\binom{n}{2} = \binom{n}{6}$.

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов: если $\binom{n}{k_1} = \binom{n}{k_2}$ и $k_1 \neq k_2$, то выполняется равенство $k_1 + k_2 = n$.

В нашем случае $k_1=2$ и $k_2=6$. Применяя данное свойство, получаем:$n = 2 + 6 = 8$.

Найденное значение $n=8$ является натуральным числом. Для существования 7-го члена в разложении необходимо, чтобы степень бинома $n$ была не меньше 6. Так как $8 \ge 6$, условие выполняется.

Ответ: $n=8$.

4.17. Коэффициент третьего члена в разложении бинома

$(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^n$ равен 28.

Найдите средний член разложения.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$, обозначаемый как $T_{k+1}$ (т.е. $(k+1)$-й член), имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае бином имеет вид $(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})^n$, где $a = \sqrt{1+x}$ и $b = -\sqrt{1-x}$.

Третий член разложения соответствует $k=2$. Коэффициент этого члена, согласно условию, равен 28. В контексте формулы бинома Ньютона под коэффициентом члена обычно понимают биномиальный коэффициент $C_n^k$. Таким образом, мы имеем $C_n^2 = 28$.

Решим это уравнение относительно n:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!} = \frac{n(n-1)}{2} = 28$

$n(n-1) = 56$

Это квадратное уравнение $n^2 - n - 56 = 0$. Его корни можно найти подбором. Так как $8 \cdot 7 = 56$, то $n=8$. Второй корень уравнения, $n=-7$, не подходит, поскольку показатель степени $n$ должен быть натуральным числом. Итак, $n=8$.

Теперь, зная $n$, мы можем найти средний член разложения. Поскольку $n=8$ — четное число, разложение будет содержать $n+1=9$ членов. В этом случае средний член один, и его номер равен $\frac{n}{2} + 1$.

Номер среднего члена = $\frac{8}{2} + 1 = 5$.

Нам нужно найти пятый член разложения, $T_5$. В общей формуле это соответствует $k=4$.

$T_5 = T_{4+1} = C_8^4 a^{8-4} b^4 = C_8^4 (\sqrt{1+x})^4 (-\sqrt{1-x})^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Упростим степени выражений с переменной $x$:

$(\sqrt{1+x})^4 = ((1+x)^{1/2})^4 = (1+x)^2$

$(-\sqrt{1-x})^4 = (-1)^4 ( (1-x)^{1/2} )^4 = (1-x)^2$

Теперь объединим все части, чтобы получить итоговое выражение для среднего члена:

$T_5 = 70 \cdot (1+x)^2 \cdot (1-x)^2 = 70 \cdot [(1+x)(1-x)]^2 = 70(1-x^2)^2$.

Выражение можно оставить в таком виде или раскрыть скобки: $70(1 - 2x^2 + x^4)$.

Ответ: $70(1-x^2)^2$.