Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая область математики называется комбинаторикой?

2. Сформулируйте правило суммы и правило произведения. Поясните их смысл.

3. По какой формуле вычисляется количество всех: 1) размещений из $n$ по $k$ с повторениями; 2) размещений из $n$ по $k$ без повторений; 3) перестановок из $n$ элементов; 4) сочетаний из $n$ по $k$ без повторений.

4. Что такое размещение заданного состава? Как определяется количество всех размещений заданного состава?

5. Что такое сочетание с повторениями из $n$ по $m$? Чему равно количество всех сочетаний из $n$ по $m$ с повторениями?

1. Какая область математики называется комбинаторикой?

Комбинаторика — это раздел дискретной математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого, как правило конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Основные задачи комбинаторики включают подсчет количества различных конфигураций (таких как сочетания, размещения, перестановки), а также исследование их существования, построения и оптимизации.

Ответ: Комбинаторика — это раздел математики, посвященный решению задач, связанных с выбором и расположением элементов конечных множеств.

2. Сформулируйте правило суммы и правило произведения. Поясните их смысл.

Правило суммы (сложения): Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект B можно выбрать n способами, причем выборы A и B являются взаимоисключающими (то есть нельзя одновременно выбрать и A, и B), то выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

Смысл: Это правило применяется, когда мы имеем дело с непересекающимися множествами вариантов и хотим выбрать один вариант из их объединения. Это соответствует логической операции «ИЛИ».

Правило произведения (умножения): Если объект A можно выбрать m способами и после каждого такого выбора объект B, в свою очередь, можно выбрать n способами, то выбор упорядоченной пары (A, B) можно совершить $m \cdot n$ способами.

Смысл: Это правило применяется, когда мы совершаем последовательность независимых выборов, и количество вариантов на каждом следующем шаге не зависит от того, какой конкретно вариант был выбран на предыдущем шаге. Это соответствует логической операции «И».

Ответ: Правило суммы: выбор «А или Б» из m и n взаимоисключающих способов осуществляется $m+n$ способами. Правило произведения: последовательный выбор А (из m способов) и Б (из n способов) осуществляется $m \cdot n$ способами.

3. По какой формуле вычисляется количество всех: 1) размещений из n по k с повторениями; 2) размещений из n по k без повторений; 3) перестановок из n элементов; 4) сочетаний из n по k без повторений.

Количество различных комбинаторных объектов вычисляется по следующим формулам:

1) размещений из n по k с повторениями: Это упорядоченные выборки длины k из множества мощностью n, где элементы могут повторяться. На каждую из k позиций можно выбрать любой из n элементов. Формула: $\bar{A}_n^k = n^k$.

2) размещений из n по k без повторений: Это упорядоченные выборки длины k из множества мощностью n, где элементы не могут повторяться. Формула: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

3) перестановок из n элементов: Это размещения без повторений, в которых участвуют все n элементов множества ($k=n$). То есть это количество способов упорядочить n различных элементов. Формула: $P_n = n!$.

4) сочетаний из n по k без повторений: Это неупорядоченные выборки (подмножества) размера k из множества мощностью n. Порядок элементов в выборке не имеет значения. Формула: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: 1) $\bar{A}_n^k = n^k$; 2) $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$; 3) $P_n = n!$; 4) $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

4. Что такое размещение заданного состава? Как определяется количество всех размещений заданного состава?

Размещение заданного состава (также известное как перестановка с повторениями) — это упорядоченный набор (кортеж) из n элементов, в котором есть $k_1$ одинаковых элементов первого типа, $k_2$ одинаковых элементов второго типа, ..., $k_m$ одинаковых элементов m-го типа, причем $k_1 + k_2 + ... + k_m = n$. По сути, это количество различных способов расположить в ряд n объектов, среди которых есть группы неразличимых между собой.

Количество всех таких размещений определяется по формуле, которая учитывает общее число перестановок n элементов и делит его на число перестановок внутри каждой группы одинаковых элементов, чтобы исключить дублирующиеся расстановки. Формула для числа размещений заданного состава $(k_1, k_2, ..., k_m)$:

$P(k_1, k_2, ..., k_m) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!}$, где $n = k_1 + k_2 + ... + k_m$.

Ответ: Размещение заданного состава — это перестановка из n элементов, среди которых есть группы одинаковых элементов. Количество таких размещений вычисляется по формуле $P(k_1, ..., k_m) = \frac{n!}{k_1! \cdot ... \cdot k_m!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k_i$ — число элементов i-го типа.

5. Что такое сочетание с повторениями из n по m? Чему равно количество всех сочетаний из n по m с повторениями?

Сочетание с повторениями из n по m — это неупорядоченная выборка m элементов из множества, содержащего n типов элементов, при условии, что элементы в выборке могут повторяться. Порядок выбора и расположения элементов в итоговом наборе не имеет значения. Примером может служить задача о покупке m пирожных, если в кондитерской есть n их видов.

Количество всех сочетаний с повторениями из n по m (обозначается как $\bar{C}_n^m$) вычисляется по формуле, которая выводится с помощью метода "шаров и перегородок". Задача сводится к расположению m одинаковых шаров (выбираемые элементы) и $n-1$ одинаковых перегородок (для разделения на n типов). Всего имеется $m + n - 1$ позиций, из которых нужно выбрать m позиций для шаров.

Формула для числа сочетаний с повторениями: $\bar{C}_n^m = C_{n+m-1}^m = \binom{n+m-1}{m} = \frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!}$.

Ответ: Сочетание с повторениями — это неупорядоченная выборка m элементов из n типов с возможностью повторения. Их количество равно $\bar{C}_n^m = C_{n+m-1}^m = \frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!}$.